解聯立方程式的三種方法

解聯立方程式意味著找出能同時滿足所有方程式的值。三種標準技巧各有其最佳適用場合——知道該選哪一種，能在每一份作業上都省下時間。

方法 1：代入法

當某個變數已經被單獨解出（或容易單獨解出）時最佳。

步驟：

在一個方程式中解出某一個變數。
把那個運算式代入另一個方程式。
解所得的一元方程式。
回代求出第二個變數。

範例： $\begin{cases} y = 2x + 1 \\ 3x + y = 11 \end{cases}$

$y$ 已經被單獨解出。代入第二個方程式： $3x + (2x + 1) = 11$ ，所以 $5x = 10$ ， $x = 2$ 。
回代： $y = 2(2) + 1 = 5$ 。
解： $(2, 5)$ 。

方法 2：消去法（線性組合）

當係數恰好對得上、可以透過相加／相減消去一個變數時最佳。

步驟：

把一個或兩個方程式乘以常數，使某個變數的係數互為相反數（例如 $+3y$ 與 $-3y$ ）。
把方程式相加以消去那個變數。
解剩下的一元方程式。
回代。

範例： $\begin{cases} 2x + 3y = 12 \\ 4x - 3y = 6 \end{cases}$

$3y$ 與 $-3y$ 已經互為相反數。相加： $6x = 18$ ， $x = 3$ 。
回代： $2(3) + 3y = 12$ ， $3y = 6$ ， $y = 2$ 。
解： $(3, 2)$ 。

方法 3：矩陣法

適用於更大的聯立方程式（3 個以上變數）或借助電腦求解：

克拉瑪公式： $x_i = \det(A_i) / \det(A)$ ，其中 $A_i$ 是把 $A$ 的第 $i$ 行替換為常數行後的矩陣。任意大小都適用，但 $\det$ 的計算量增長很快。
高斯消去法：把增廣矩陣 $[A | \vec{b}]$ 列約簡為列梯形，再回代。大型聯立方程式的標準方法。
反矩陣： $\vec{x} = A^{-1} \vec{b}$ 。僅當 $A$ 是方陣且可逆（行列式非零）時有效。

手算 2×2 聯立方程式時，代入法或消去法幾乎總是更勝一籌。矩陣法在 3 個以上變數時大放異彩。

解集合的三種可能

每個線性聯立方程式恰好屬於以下之一：

唯一解：直線（或平面）相交於一點。
無解：方程式相互矛盾（永不相交的平行線）——聯立方程式矛盾（不相容）。
無窮多解：方程式描述的是同一條直線／同一平面——聯立方程式相依（不定）。

代數訊號：

「 $x = 5$ 」→ 唯一解。
「 $0 = 7$ 」→ 矛盾 → 無解。
「 $0 = 0$ 」→ 恆等式 → 無窮多解。

常見錯誤

代入時展開過程中的正負號錯誤。括號要小心處理。
消去縮放時忘記兩邊都乘。
求出 $x$ 後就停下。兩個變數都重要；要回代。
忽視矛盾。如果你得到 $0 = 7$ ，那就是答案（「無解」），而不是計算錯誤。

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