假設檢定逐步詳解：從 H0 到 p 值

假設檢定是統計推論的主力工具，從臨床試驗到網站的 A/B 測試，處處都在用它。然而它也是統計學中最被誤解的主題。本指南把整條流程清晰地走一遍，讓你真正明白 p 值到底代表什麼。

五個步驟

1. 陳述 $H_0$ 和 $H_1$：虛無假設（現狀）和對立假設（你想支持的論斷）。
2. 選定顯著水準 $\alpha$：通常是 0.05 或 0.01。
3. 從你的資料計算檢定統計量（$z$、$t$、$\chi^2$ 等）。
4. 求 p 值：在 $H_0$ 為真的前提下，看到這麼極端資料的機率。
5. 作出判斷：若 $p < \alpha$，拒絕 $H_0$；否則無法拒絕。

注意：「無法拒絕」≠「接受 $H_0$」。你只是沒有足夠的證據反對它而已。

單樣本 z 檢定（解題範例）

某工廠聲稱其燈泡平均壽命 1000 小時（$\sigma = 50$）。你檢定了 25 顆燈泡，測得 $\bar x = 980$。在 $\alpha = 0.05$ 下，這個聲稱被推翻了嗎？

1. $H_0: \mu = 1000$，$H_1: \mu \ne 1000$。
2. $\alpha = 0.05$，雙尾檢定。
3. 檢定統計量：$z = \frac{\bar x - \mu_0}{\sigma / \sqrt{n}} = \frac{980 - 1000}{50/\sqrt{25}} = \frac{-20}{10} = -2$。
4. p 值：$2 \cdot P(Z < -2) \approx 2 \cdot 0.0228 = 0.0456$。
5. 由於 $0.0456 < 0.05$，拒絕 $H_0$。平均壽命與 1000 小時有顯著差異。

選對檢定方法

情形	檢定
一個平均數，$\sigma$ 已知	單樣本 z 檢定
一個平均數，$\sigma$ 未知，n 較小	單樣本 t 檢定
兩個平均數，獨立樣本	雙樣本 t 檢定
兩個成對平均數	成對 t 檢定
比例	比例的 z 檢定
適合度 / 列聯表	卡方

第一型錯誤 vs 第二型錯誤

• 第一型錯誤：拒絕一個為真的 $H_0$。機率 = $\alpha$。
• 第二型錯誤：沒有拒絕一個為假的 $H_0$。機率 = $\beta$。
• 檢定力 = $1 - \beta$：正確檢出真實效應的機率。

這三者會一起連動：在樣本數固定時，縮小 $\alpha$ 會抬高 $\beta$；增大樣本數則會同時降低兩者。

常見錯誤

• 「p 值 = $H_0$ 為真的機率」——錯誤。p 值是 $P(\text{資料} \mid H_0)$，而不是 $P(H_0 \mid \text{資料})$。
• 多重比較——在 $\alpha = 0.05$ 下做 20 次檢定，平均必然會出現約 1 個偽陽性。要使用校正。
• 把顯著性與重要性混為一談——一個伴隨巨大 $n$ 的微小效應可能在統計上高度顯著，但在實務上無關緊要。

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相關參考：

• Z 分數計算器 — 每個 z 檢定的基石
• 標準差計算器 — 離散程度的輸入
• 常態分布計算器 — z 檢定所假定的前提