指數法則詳解：每條定律配解題範例

指數把重複的乘法壓縮成一種簡潔優雅的記號。一旦你把下面這七條規則內化於心，化簡像 $\frac{x^5 y^{-2}}{x^{-3} y^4}$ 這樣的式子就成了 30 秒就能搞定的練習。這一頁就是你寫作業時可以一直開著的速查表。

為什麼指數很重要

指數規則不是憑空訂出來的——它們全都源自定義 $a^n = \underbrace{a \cdot a \cdots a}_{n \text{ 個}}$。一旦你看懂每條規則為什麼成立，你就不再死背，而是隨需推導。

七條核心定律

#	定律	範例
1	$a^m \cdot a^n = a^{m+n}$	$x^3 \cdot x^4 = x^7$
2	$a^m / a^n = a^{m-n}$	$x^7 / x^2 = x^5$
3	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(x^2)^3 = x^6$
4	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2x)^3 = 8x^3$
5	$(a/b)^n = a^n / b^n$	$(x/y)^4 = x^4/y^4$
6	$a^{-n} = 1/a^n$	$x^{-3} = 1/x^3$
7	$a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m}$	$8^{2/3} = (\sqrt[3]{8})^2 = 4$

再加上兩個定義性的情況：對任意 $a \ne 0$ 有 $a^0 = 1$，以及 $a^1 = a$。

解題範例：綜合運用規則

化簡 $\frac{(2x^3)^2 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$。

1. 對括號套用規則 4：$(2x^3)^2 = 4x^6$。
2. 代回：$\frac{4x^6 \cdot x^{-4}}{4x^{-1}}$。
3. 約掉兩個 4：$\frac{x^6 \cdot x^{-4}}{x^{-1}}$。
4. 用規則 1 合併分子：$\frac{x^2}{x^{-1}}$。
5. 套用規則 2：$x^{2 - (-1)} = x^3$。

整個化簡過程只是記帳——規則會帶著你走。

負指數與分數指數的直觀理解

負指數不代表「負數」；它代表倒數。所以 $5^{-2} = 1/25$，而不是 $-25$。

分數指數 $a^{p/q}$ 是先開根再次方（或先次方再開根，答案相同）。分母決定開幾次根，分子決定次方：$32^{3/5} = (\sqrt[5]{32})^3 = 2^3 = 8$。

常見錯誤

• $(a + b)^n \ne a^n + b^n$——指數對加法不能分配。$(2 + 3)^2 = 25$，不是 $4 + 9$。
• $a^{-n} \ne -a^n$——負指數是倒數，不是變號。
• $0^0$ 在代數與組合學中習慣定為 $1$，但在某些分析的脈絡下沒有定義。拿不準時要小心。

用 AI 指數求解器試試

把任意式子貼進指數／化簡求解器，你就會得到一份完全使用上述規則的逐步化簡。

相關連結：

• 化簡計算器 ——適用於一般的代數整理
• 對數計算器 ——指數的逆運算
• 多項式計算器 ——指數規則最常出現的地方