概率基础：法则、组合数学与示例

概率把不确定性量化。好消息是：大多数作业题都归结为一小套法则，外加愿意仔细地数清楚。本指南覆盖你在进入分布、假设检验或贝叶斯推断之前所需的基础。

「概率」是什么意思

事件 $A$ 的概率是

$P(A) = \frac{\text{有利结果数}}{\text{结果总数}}$

前提是所有结果等可能发生。$P(A) \in [0, 1]$：

• $0$ = 不可能。
• $1$ = 必然。
• $0.5$ = 抛一次硬币。

对于不等可能的结果，你要给每个结果分配权重（这正是概率分布所做的事）。

三条核心法则

加法法则（A 或 B 的概率）

$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$

减去交集，免得重复计数。如果 $A$ 和 $B$ 是互斥的（不能同时发生），交集就是零。

示例：从一副 52 张牌中抽一张，$P(\text{K 或红桃}) = 4/52 + 13/52 - 1/52 = 16/52 = 4/13$。（有一张牌既是 K 又是红桃，所以要减。）

乘法法则（A 且 B 的概率）

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B \mid A)$

如果 $A$ 和 $B$ 是独立的（一个不影响另一个），则 $P(B | A) = P(B)$，化简为 $P(A) \cdot P(B)$。

示例：掷两个骰子，$P(\text{两个都是 6}) = 1/6 \cdot 1/6 = 1/36$。（两次掷骰相互独立。）

条件概率

$P(B \mid A) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$

在 $A$ 已经发生的条件下 $B$ 的概率。它是贝叶斯定理和绝大部分推断统计的基础。

示例：抽出的一张牌是花牌。它是 K 的概率是多少？

• $P(\text{K 且花牌}) = 4/52$。
• $P(\text{花牌}) = 12/52$。
• $P(\text{K | 花牌}) = (4/52) / (12/52) = 4/12 = 1/3$。

计数：排列与组合

从 $n$ 个对象中取 $r$ 个：

• 排列（顺序有关）：$P(n, r) = \frac{n!}{(n-r)!}$。
• 组合（顺序无关）：$C(n, r) = \binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$。

判断的关键是「把我选出的两个对象互换，结果会不会变成不一样的？」：

• 会（例如金牌 vs 银牌）→ 排列。
• 不会（例如选一个 5 人委员会）→ 组合。

解题示例：彩票

从 49 个号码里选 6 个。你彩票上的顺序无所谓——组合。

$\binom{49}{6} = \frac{49!}{6! \cdot 43!} = 13,983,816$

所以 $P(\text{中 6 个号码头奖}) = 1/13{,}983{,}816 \approx 7.15 \times 10^{-8}$。

独立 vs 互斥（别搞混了！）

• 独立：知道 $A$ 不会改变 $P(B)$。抛硬币是独立的。
• 互斥：$A$ 和 $B$ 不能同时发生。掷一个骰子不可能既是 1 又是 2。

两个事件可以是独立、互斥、两者皆是、或两者皆非。尽管常被混淆，它们不是同一个概念。

常见错误

• 赌徒谬误：「我连续抛出了 5 次正面，所以下一次必定是反面。」抛硬币是独立的——过去不会改变未来的概率。
• 不减交集就把非互斥的概率相加。$P(\text{K}) + P(\text{红桃}) \neq P(\text{K 或红桃})$。
• 把 $P(A | B)$ 和 $P(B | A)$ 混为一谈。经典的检察官谬误：「在被告无罪的前提下，出现这一证据的概率很小；因此在有这一证据的前提下，无罪的概率很小。」不应用贝叶斯定理，这在逻辑上是错的。

自己试一试

把任意概率问题输入概率计算器——加法、乘法、条件，还有组合数学。AI 会一步步带你走完。

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