置信区间计算器

**置信区间（CI）**是由样本数据构造的、未知总体参数的一组可信值范围。95% 置信区间意味着：如果你多次重复抽样过程，所构造的区间中约有 95% 会包含真实参数。

重要：95% 指的是这个过程，而不是任何单个已算出的区间。一旦由数据构造出某个区间，它要么包含要么不包含真实参数——但我们不知道是哪种。

核心结构：每个置信区间都具有形式

$\text{estimate} \pm \text{margin of error}$

估计量是样本统计量（$\bar{x}$ 或 $\hat{p}$）。误差幅度是临界值乘以估计量的标准误。

置信区间出现在：

• 选举民调（「52% 支持率，$\pm 3\%$ 误差幅度」）
• 医学研究（效应量的置信区间）
• 质量控制（平均缺陷率）
• 任何想量化估计的不确定性而不只是报告点值的场合。

总体均值的置信区间（Z 区间）

当总体标准差 $\sigma$ 已知且抽样分布近似正态（大 $n$ 或正态总体）时：

$\bar{x} \pm z^* \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

其中 $z^*$ 是所选置信水平的临界值。

总体均值的置信区间（T 区间）

当 $\sigma$ 未知（只有样本标准差 $s$）时——实践中更常见：

$\bar{x} \pm t^*_{n-1} \cdot \frac{s}{\sqrt{n}}$

临界值 $t^*$ 来自自由度为 $n - 1$ 的 t 分布。对于大 $n$（$\geq 30$），$t^* \approx z^*$，两个区间非常接近。

总体比例的置信区间

对于样本比例 $\hat{p} = x/n$（其中 $x$ 是成功次数）：

$\hat{p} \pm z^* \cdot \sqrt{\frac{\hat{p}(1 - \hat{p})}{n}}$

当 $n\hat{p} \geq 10$ 且 $n(1 - \hat{p}) \geq 10$（成功-失败条件）时有效。

临界值

误差幅度

$\text{ME} = (\text{critical value}) \times (\text{standard error})$

增大样本量 $n$ 会使标准误（从而误差幅度）按 $\sqrt{n}$ 的因子减小。把 $n$ 翻四倍会把误差幅度减半。

选择置信水平

• 更高置信度 = 更宽区间。99% 区间比 95% 区间宽，95% 又比 90% 宽。
• 95% 是大多数学术和专业场合的默认值。
• 高风险（医疗、安全）时用 99%；当更窄的点估计比覆盖率更重要时用 90%。

• 误解 95%：「真实均值有 95% 的概率落在这个区间内」是错误的（频率派）。正确说法是关于过程：95% 的同样构造的区间包含真实参数。
• 该用 t 时用了 z：$\sigma$ 未知时用 $t^*$。用 $z^*$ 会低估不确定性，尤其在小 $n$ 时。
• 标准误中忘记 $\sqrt{n}$：是 $\sigma/\sqrt{n}$，不是 $\sigma/n$。
• 临界值方向错误：95%（双侧）对应 $z^* = 1.96$，而非第 95 百分位的 $z = 1.645$。双侧临界值在每个尾部各截掉 $\alpha/2$。
• 比例时跳过成功-失败条件：若 $n\hat{p}$ 或 $n(1-\hat{p}) < 10$，正态近似失效——改用精确（Clopper-Pearson）或基于得分的区间。
• 混淆置信区间与预测区间：95% 置信区间以 95% 覆盖率估计均值。预测区间估计单个未来观测——要宽得多。