判断下列各式对实数 m 是否可能成立：cos(m) = 2，tan(m) = 2，cot(0) = m，csc(π) = m，sin(m) = −1.1，arcsec(m) = π/2，cot(π) = m，sin(m) = −0.9。

Step-by-step solution

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   先把这八个式子分成两类。 在 (a)、(b)、(e)、(h) 里未知数在函数里面，所以问的是给定的函数值是否落在函数的值域内。在 (c)、(d)、(g) 里未知数是函数的输出，所以问的是函数在那个输入处到底有没有定义。至于 (f)，考的是一个反函数的值域。

2. 2

   用正弦、余弦的值域处理 (a)、(e)、(h)。 对每一个实数 $m$ 都有

   $-1\le\sin m\le 1,\qquad -1\le\cos m\le 1.$

   所以 $\cos(m)=2$ 不可能，$\sin(m)=-1.1$ 也不可能，而 $\sin(m)=-0.9$ 是可能的（例如取 $m=\arcsin(-0.9)\approx-1.1198$）。

3. 3

   用正切的值域处理 (b)。 $\tan$ 在每一个分支上都能取遍所有实数，所以 $\tan(m)=2$ 是可能的；$m=\arctan 2\approx 1.1071$ 就行，$m\approx 1.1071+k\pi$ 同样可以。

4. 4

   看余切和余割在哪里发散，处理 (c)、(d)、(g)。 这两个函数的分母上都是 $\sin$：

   $\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\qquad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.$

   因为 $\sin 0=0$、$\sin\pi=0$，所以 $\cot(0)$、$\csc(\pi)$、$\cot(\pi)$ 三个都无定义——它们分别是 $\tfrac10$、$\tfrac10$ 和 $\tfrac{-1}{0}$。没有哪个实数 $m$ 能等于一个无定义的式子，因此 (c)、(d)、(g) 都不可能。

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   看反正割函数的值域，处理 (f)。 反正割函数的值域规定为 $\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left(\tfrac{\pi}{2},\pi\right]$——$\tfrac{\pi}{2}$ 这个值是被特意挖掉的，因为 $\sec\left(\tfrac{\pi}{2}\right)=\tfrac{1}{\cos(\pi/2)}=\tfrac10$ 无定义。所以 $\sec^{-1}(m)=\tfrac{\pi}{2}$ 不可能。

6. 6

   把结论汇总。 可能的：(b) 和 (h)。不可能的：(a)、(c)、(d)、(e)、(f)、(g)。值得记住的规律是：有界的函数栽在「大小超标」上，而倒数型的函数栽在「分母为零」上。