判断下列函数是偶函数、奇函数还是非奇非偶：f(x) = 4x³ − 3x² + 5，f(x) = −7x² + 1，y = cos(−x)，y = sin x / cos x，y = csc x，y = tan x / x。

Step-by-step solution

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   先把判定标准定下来。 当 $f(-x)=f(x)$ 时 $f$ 是偶函数，当 $f(-x)=-f(x)$ 时是奇函数。对多项式还有个捷径：只含偶次幂就是偶函数，只含奇次幂就是奇函数，两种幂混在一起就非奇非偶。（常数项算作 $x^0$，属于偶次幂。）

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   先归类两个多项式。 $4x^{3}-3x^{2}+5$ 里既有奇次幂 $x^3$，又有偶次幂 $x^2$ 和 $x^0$，所以非奇非偶。而 $-7x^{2}+1$ 中每一项的幂次都是偶数，所以是偶函数。

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   判断 cos(−x) 之前先化简。 余弦是偶函数，所以 $\cos(-x)=\cos x$——这个式子不过是余弦函数换了身衣服，因此是偶函数。直接验证也一样：把 $x$ 换成 $-x$ 得到 $\cos(x)$，与原式相等。

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   判断 sin x / cos x。 它就是 $\tan x$。由 $\sin(-x)=-\sin x$ 和 $\cos(-x)=\cos x$ 得

   $\frac{\sin(-x)}{\cos(-x)}=\frac{-\sin x}{\cos x}=-\tan x,$

   所以它是奇函数。

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   判断 csc x。 因为 $\csc x=\dfrac{1}{\sin x}$，而正弦是奇函数，

   $\csc(-x)=\frac{1}{-\sin x}=-\csc x,$

   所以它是奇函数。奇函数的倒数仍然是奇函数。

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   判断 tan x / x。 正切是奇函数，$x$ 也是奇函数，而奇函数除以奇函数得到偶函数：

   $\frac{\tan(-x)}{-x}=\frac{-\tan x}{-x}=\frac{\tan x}{x},$

   所以它是偶函数。最终归类——偶函数： $-7x^2+1$、$\cos(-x)$、$\tfrac{\tan x}{x}$；奇函数： $\tfrac{\sin x}{\cos x}$、$\csc x$；非奇非偶： $4x^3-3x^2+5$。