判断函数 y = sin x / x 与函数 y = cos x / x 是偶函数、奇函数还是两者都不是。

Step-by-step solution

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   先写清判定标准。 若定义域内每个 $x$ 都满足 $f(-x)=f(x)$，函数为偶函数；若都满足 $f(-x)=-f(x)$，则为奇函数。这里两个函数的定义域都是 $x\neq 0$，关于原点对称，所以这套判定是有意义的。

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   回忆各个部件本身的奇偶性。

   $\sin(-x)=-\sin x\ (\text{奇}),\qquad \cos(-x)=\cos x\ (\text{偶}),\qquad (-x)=-x\ (\text{奇}).$

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   检验第一个函数。

   $f(-x)=\frac{\sin(-x)}{-x}=\frac{-\sin x}{-x}=\frac{\sin x}{x}=f(x),$

   所以 $\dfrac{\sin x}{x}$ 是偶函数。两个负号互相抵消——奇除以奇得偶。

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   检验第二个函数。

   $g(-x)=\frac{\cos(-x)}{-x}=\frac{\cos x}{-x}=-\frac{\cos x}{x}=-g(x),$

   所以 $\dfrac{\cos x}{x}$ 是奇函数。这一次只有分母变号——偶除以奇得奇。

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   做数值确认。 在 $x=\pm 2$ 处：$\dfrac{\sin 2}{2}=0.454649$，$\dfrac{\sin(-2)}{-2}=0.454649$，两者相等，正是偶函数该有的样子。而 $\dfrac{\cos 2}{2}=-0.208073$，$\dfrac{\cos(-2)}{-2}=+0.208073$，两者相反，正是奇函数该有的样子。

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   记住一般的奇偶运算规律。 对商而言：偶/偶 = 偶，奇/奇 = 偶，偶/奇 = 奇，奇/偶 = 奇。它们的表现和符号相乘一模一样，所以与其死记，不如现推。