下列哪个函数是偶函数？f(x) = sin(-3πx)、f(x) = tan(3πx)、f(x) = cos(5πx/4)、f(x) = csc(-πx/2)。

Step-by-step solution

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   先说清判定方法。 若对定义域内的每一个 $x$ 都有 $f(-x) = f(x)$，则函数是偶函数（图像关于 $y$ 轴对称）；若 $f(-x) = -f(x)$，则是奇函数（图像关于原点对称）。所以整道题就是：代入 $-x$，看拿回来的是哪个符号。

2. 2

   回忆基本三角函数的奇偶性。 $\cos$ 是偶的：$\cos(-\theta) = \cos\theta$。它的倒数 $\sec$ 也是偶的。而 $\sin$、$\tan$、$\cot$、$\csc$ 全是奇的：$\sin(-\theta) = -\sin\theta$，其余同理。括号里套一个一次式 $kx$ 并不影响这一点，因为把 $x$ 换成 $-x$ 只不过是把 $kx$ 变号而已。

3. 3

   检验那三个奇函数候选项。

   $\sin(-3\pi(-x)) = \sin(3\pi x) = -\sin(-3\pi x)$

   $\tan(3\pi(-x)) = \tan(-3\pi x) = -\tan(3\pi x)$

   $\csc\!\left(-\tfrac{\pi}{2}(-x)\right) = \csc\!\left(\tfrac{\pi}{2}x\right) = -\csc\!\left(-\tfrac{\pi}{2}x\right)$

   每一个拿回来的都是原式的相反数，所以这三个都是奇函数，不是偶函数。

4. 4

   检验余弦那一项。 因为余弦是偶函数，

   $\cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}(-x)\right) = \cos\!\left(-\tfrac{5\pi}{4}x\right) = \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}x\right) = f(x)$

   于是 $f(-x) = f(x)$，这一项确实是偶函数。

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   取个数值抽查。 取 $x = 0.3$：$\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}(0.3)\bigr) = \cos(1.1781) = 0.3827$，$\cos\!\bigl(\tfrac{5\pi}{4}(-0.3)\bigr) = \cos(-1.1781) = 0.3827$ ✓——两者相等。再看同一个 $x$ 处的正切项：$\tan(0.9\pi) = -0.3249$，而 $\tan(-0.9\pi) = +0.3249$——恰好相反，印证了它是奇函数。答案：$f(x) = \cos\!\left(\tfrac{5\pi}{4}x\right)$。