一个三角形中 α = 36 度，γ = 50 度，夹在这两个角之间的边 b = 78.2。求该三角形的面积，精确到十分位。

Step-by-step solution

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   先求第三个角——不先把它求出来，后面什么都做不了。 三角形内角和为 $180^\circ$：

   $\beta=180^\circ-\alpha-\gamma=180^\circ-36^\circ-50^\circ=94^\circ$

   因为 $\beta$ 是钝角，所以与 $\beta$ 相对的边 $b$ 是三角形中最长的边——这是对后面数字的一个有用的直觉检验。

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   认清结构：已知边夹在两个已知角之间（ASA）。 按标准记法，边 $b$ 与角 $\beta$ 相对，因此在 $\alpha$ 和 $\gamma$ 已知的情况下，$b$ 正是夹边。此时三个角和一条边都定下来了，三角形随之唯一确定，不存在多解讨论（那只在 SSA 的情形才会出现）。

3. 3

   由正弦定理推出面积公式。 面积为 $K=\tfrac12ac\sin\beta$，而正弦定理可以把两条未知边都用 $b$ 表示出来：

   $a=\frac{b\sin\alpha}{\sin\beta},\qquad c=\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta}$

   代入得

   $K=\frac12\cdot\frac{b\sin\alpha}{\sin\beta}\cdot\frac{b\sin\gamma}{\sin\beta}\cdot\sin\beta=\frac{b^2\sin\alpha\sin\gamma}{2\sin\beta}$

   用这一个公式一步算到底，就不必对中间的边长取近似——两步法通常正是在那里丢掉零点几。

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   代入数值。 由 $b^2=78.2^2=6115.24$，以及（取七位小数）

   $\sin36^\circ=0.5877853,\quad \sin50^\circ=0.7660444,\quad \sin94^\circ=0.9975641$

   分子与分母分别为

   $6115.24\times0.5877853\times0.7660444=2753.5068,\qquad 2\times0.9975641=1.9951281$

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   相除并取近似。

   $K=\frac{2753.5068}{1.9951281}=1380.1153\ldots\approx1380.1$

   注意小数点后的数字：未舍入的值是 $1380.115$，所以应当向下舍到 $1380.1$。如果正弦值只取四位小数，会算成 $1380.2$，四舍五入的结果就错了。

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   用完全不同的方法交叉验证。 解出两条边：$a=b\sin\alpha/\sin\beta=46.0770$，$c=b\sin\gamma/\sin\beta=60.0510$。于是 $K=\tfrac12ac\sin94^\circ=1380.1153$；再用海伦公式，取 $s=\tfrac{a+b+c}{2}=92.1640$，同样得到 $1380.1153$。三条互相独立的路径在小数点后四位上一致，答案就可以定下来了。