求下列各角的参考角：210 度、135 度、5π/3 和 5π/4。

Step-by-step solution

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   先弄清参考角是什么。 角 $\theta$ 的参考角，是 $\theta$ 的终边与 $x$ 轴所夹的那个锐角——永远不是与 $y$ 轴所夹的角。它始终落在 $(0^\circ,90^\circ)$ 内，用弧度写就是 $\left(0,\tfrac{\pi}{2}\right)$。有了它，就可以先在第一象限读出 $\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ 的大小，再补上正确的符号。

2. 2

   记住每个象限对应的那一条规则。 对于 $0$ 到一整圈之间的 $\theta$：

   象限	角度制	弧度制
   I	$\theta$	$\theta$
   II	$180^\circ-\theta$	$\pi-\theta$
   III	$\theta-180^\circ$	$\theta-\pi$
   IV	$360^\circ-\theta$	$2\pi-\theta$

   每一行不过是在说「量到较近的那半条 $x$ 轴」。如果 $\theta$ 是负角或者大于一整圈，先加上或减去 $360^\circ$（$2\pi$）。

3. 3

   a. $210^\circ$。 因为 $180^\circ<210^\circ<270^\circ$，该角在第三象限，所以减去 $180^\circ$：

   $210^\circ-180^\circ=30^\circ$

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   b. $135^\circ$。 因为 $90^\circ<135^\circ<180^\circ$，该角在第二象限，所以用 $180^\circ$ 减去它：

   $180^\circ-135^\circ=45^\circ$

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   c. $\dfrac{5\pi}{3}$。 把边界通分写成同分母：$\pi=\tfrac{3\pi}{3}$、$\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{4.5\pi}{3}$、$2\pi=\tfrac{6\pi}{3}$。因为 $\tfrac{5\pi}{3}$ 落在 $\tfrac{4.5\pi}{3}$ 与 $\tfrac{6\pi}{3}$ 之间，它在第四象限：

   $2\pi-\frac{5\pi}{3}=\frac{6\pi}{3}-\frac{5\pi}{3}=\frac{\pi}{3}$

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   d. $\dfrac{5\pi}{4}$。 由 $\pi=\tfrac{4\pi}{4}$、$\tfrac{3\pi}{2}=\tfrac{6\pi}{4}$ 可知，$\tfrac{5\pi}{4}$ 位于第三象限：

   $\frac{5\pi}{4}-\pi=\frac{5\pi}{4}-\frac{4\pi}{4}=\frac{\pi}{4}$

7. 7

   用正弦值逐个验算。 参考角必须重现三角比的大小：$\sin 210^\circ=-\tfrac12$ 而 $\sin 30^\circ=\tfrac12$；$\sin 135^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$ 而 $\sin 45^\circ=\tfrac{\sqrt2}{2}$；$\sin\tfrac{5\pi}{3}=-\tfrac{\sqrt3}{2}$ 而 $\sin\tfrac{\pi}{3}=\tfrac{\sqrt3}{2}$；$\sin\tfrac{5\pi}{4}=-\tfrac{\sqrt2}{2}$ 而 $\sin\tfrac{\pi}{4}=\tfrac{\sqrt2}{2}$。每一组都只差一个符号，正该如此。另外注意：$210^\circ$ 和 $\tfrac{5\pi}{4}$ 同在第三象限，参考角却不一样——象限决定的是用哪条规则，而不是答案本身。