一架梯子斜靠在墙上，顶端触墙处离地 24 英尺，底端离墙 7 英尺。求梯子的长度以及它与地面所成的角。

Step-by-step solution

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   把情境抽象成直角三角形。 墙是竖直的、地面是水平的，两者成 $90^\circ$。梯子是斜边，沿墙的高度（$24$ 英尺）是地面夹角的对边，离墙的距离（$7$ 英尺）是它的邻边。把图画一遍，哪条边是哪条就完全没有歧义了。

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   用勾股定理求长度。 两条直角边为 $7$ 和 $24$，斜边为 $c$：

   $c^2=7^2+24^2=49+576=625$
   $c=\sqrt{625}=25\text{ 英尺}$

   长度算出来是整数，是因为 $(7,24,25)$ 是一组勾股数——这往往说明题目是被特意设计过的。

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   选一个只用到已知数据的三角比。 设地面处的角为 $\theta$。已知的两条边是对边（$24$）和邻边（$7$），恰好由这两条边构成的比就是正切：

   $\tan\theta=\frac{\text{对边}}{\text{邻边}}=\frac{24}{7}$

   用正切还有一个好处：第 2 步万一算错，也不会把错误传导到角度上。

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   取反正切求出角度。

   $\theta=\arctan\!\left(\frac{24}{7}\right)=\arctan(3.4286)\approx 73.74^\circ$

   注意计算器要切到角度模式；在弧度模式下同样的按键会返回 $1.287$。

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   换一个三角比验算角度。 用刚算出的斜边，

   $\sin\theta=\frac{24}{25}=0.96,\qquad \cos\theta=\frac{7}{25}=0.28$

   $\arcsin(0.96)$ 与 $\arccos(0.28)$ 都返回 $73.74^\circ$，而 $0.96^2+0.28^2=0.9216+0.0784=1$ 说明这个三角形是自洽的。角度这么陡也符合直觉：梯子往外只挪了 $7$ 英尺，却升高了 $24$ 英尺。