在三角形 ABC 中，AB = AC，D 是 BC 的中点。求证：AD ⊥ BC。

Step-by-step solution

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   先理清已知条件，以及要证「垂直」得走到哪一步。 已知 $AB=AC$（三角形是以 $BC$ 为底的等腰三角形）和 $BD=DC$（中点的定义）。要证 $AD\perp BC$，就得说明 $\angle ADB$ 与 $\angle ADC$ 之中有一个等于 $90^\circ$。思路是先证这两个角相等，再利用它们位于同一条直线上这一点，逼出每个角都是直角。这比直接去算某个角要干净得多。

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   比较三角形 $ABD$ 与 $ACD$。 线段 $AD$ 把原三角形分成了两个小三角形。把它们的元素一一对应：

   $AB=AC\quad(\text{已知})$

   $BD=DC\quad(D\text{ 是 }BC\text{ 的中点})$

   $AD=AD\quad(\text{公共边})$

   三组都对应相等，恰好是三边对三边。

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   由 SSS 判定全等。 由边边边判定，

   $\triangle ABD\cong\triangle ACD$

   这里选 SSS 是对路的，因为三个已知条件说的全是长度；题目没给任何角的信息，用 SAS 或 ASA 都要再添一个未经证明的假设。

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   把这个相等关系传到 $D$ 处的两个角上。 全等三角形的对应部分相等，而第一个三角形里的 $\angle ADB$ 对应第二个三角形里的 $\angle ADC$：

   $\angle ADB=\angle ADC$

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   利用 $B$、$D$、$C$ 三点共线，把角的值钉在 $90^\circ$ 上。 因为 $D$ 落在线段 $BC$ 上、位于 $B$ 与 $C$ 之间，这两个角构成邻补角，彼此互补：

   $\angle ADB+\angle ADC=180^\circ$

   把上一步的相等关系代进去，得 $2\angle ADB=180^\circ$，于是

   $\angle ADB=\angle ADC=90^\circ\quad\Longrightarrow\quad AD\perp BC$

   两个事实缺一不可：光有角相等推不出 $90^\circ$，光有互补也推不出。是两者合在一起才把这个证明收住的。

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   用坐标法验证。 把底边对称地放好：$B=(-b,0)$、$C=(b,0)$，于是中点 $D=(0,0)$。条件 $AB=AC$ 迫使 $A$ 到 $B$ 与到 $C$ 等距，也就是 $A=(0,h)$，其中 $h\neq0$。于是 $\vec{DA}=(0,h)$、$\vec{DC}=(b,0)$，两者的数量积是

   $\vec{DA}\cdot\vec{DC}=0\cdot b+h\cdot0=0$

   数量积为零就意味着两条线段垂直，这印证了前面的综合法证明。顺带一提，同一张图还说明 $AD$ 同时是中线、高、从 $A$ 出发的角平分线，以及 $BC$ 的垂直平分线 —— 这四者合一，恰恰只在三角形是等腰时才成立。