求 2sin x − 1 = 0 的全部实数解。

Step-by-step solution

1. 1

   先把正弦单独留下。 两边加 $1$ 再除以 $2$：

   $2\sin x=1\qquad\Longrightarrow\qquad \sin x=\frac{1}{2}$

   由于 $\tfrac12$ 落在 $[-1,1]$ 内，方程确实有解。

2. 2

   先在第一象限里定出这个角。 $\tfrac12$ 是特殊值：由 $30^\circ$-$60^\circ$-$90^\circ$ 三角形可知 $\sin\tfrac{\pi}{6}=\tfrac12$，所以 $x=\tfrac{\pi}{6}$ 是一个解——不用计算器。

3. 3

   在同一圈里找出第二个解。 正弦在第一象限和第二象限里都为正，且 $\sin(\pi-\theta)=\sin\theta$。所以对称过来的

   $x=\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{5\pi}{6}$

   也是解。漏掉这一支，是解正弦方程时最常犯的错误。

4. 4

   按周期把解延展出去。 $\sin$ 每 $2\pi$ 重复一次，所以每个解都是这两个基本角加上整数圈：

   $x=\frac{\pi}{6}+2\pi k\qquad\text{或}\qquad x=\frac{5\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

5. 5

   说清这两族为什么不能合并。 从 $\tfrac{\pi}{6}$ 到 $\tfrac{5\pi}{6}$ 相差 $\tfrac{2\pi}{3}$，它不是 $2\pi$ 的整数倍，所以两族互不包含——两支都是真正必需的。

6. 6

   代回验证。 $2\sin\!\left(\tfrac{\pi}{6}\right)-1=2(0.5)-1=0$ ✓，$2\sin\!\left(\tfrac{5\pi}{6}\right)-1=2(0.5)-1=0$ ✓。在两族里各取 $k=-2$ 和 $k=3$ 代入，结果同样在机器精度内为 $0$ ✓。