在全体实数上解 sin(x) = −1/2，求 x。

Step-by-step solution

1. 1

   先由绝对值大小找参考角。 暂时不管符号：由 $30$-$60$-$90$ 三角形可知，$\sin\theta=\tfrac12$ 对应特殊角

   $\theta=\frac{\pi}{6}=30^\circ$

   所以 $\tfrac{\pi}{6}$ 就是参考角——不用计算器。

2. 2

   判断哪几个象限的正弦为负。 正弦是单位圆上的 $y$ 坐标，所以它在第三象限和第四象限为负（都在横轴下方）。两个象限意味着每转一圈有两个解。

3. 3

   写出第三象限的解。 从 $\pi$ 再往前量一个参考角：

   $x=\pi+\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{6}$

   此处 $\sin\tfrac{7\pi}{6}=-\tfrac12$ ✓（两个坐标都为负）。

4. 4

   写出第四象限的解。 从 $2\pi$ 往回量一个参考角：

   $x=2\pi-\frac{\pi}{6}=\frac{11\pi}{6}$

   此处 $\sin\tfrac{11\pi}{6}=-\tfrac12$ ✓。

5. 5

   按周期推广。 正弦的周期是 $2\pi$，所以每一个解都是这两个角加上整数圈：

   $x=\frac{7\pi}{6}+2\pi k\qquad\text{或}\qquad x=\frac{11\pi}{6}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}$

   两族都不能省：它们相差 $\tfrac{4\pi}{6}=\tfrac{2\pi}{3}$，不是 $2\pi$ 的整数倍。（等价地，$x=-\tfrac{\pi}{6}+2\pi k$ 描述的是同一族第四象限的解。）

6. 6

   取几个 k 值验算。 分别取 $k=-2,\,0,\,3$ 代入两族解，六种情形算出的都是 $\sin x=-0.500000$ ✓，说明周期和两个分支都没错。