解三角方程 sin x − 2cos 2x = 1，并写出它的通解。

Step-by-step solution

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   先把方程化成只含一种三角函数。 方程里既有角 $x$ 又有角 $2x$，没法直接求解。二倍角公式有三种写法，这里选纯用正弦的那一种，因为另一项恰好是 $\sin x$：

   $\cos 2x=1-2\sin^{2}x.$

2. 2

   代入并整理。

   $\sin x-2\left(1-2\sin^{2}x\right)=1\ \Longrightarrow\ \sin x-2+4\sin^{2}x=1,$

   $4\sin^{2}x+\sin x-3=0.$

   方程现在成了关于同一个量的二次方程。

3. 3

   解这个二次方程。 令 $t=\sin x$，则 $4t^{2}+t-3=0$。判别式 $D=1^{2}-4(4)(-3)=49$ 是完全平方数，所以

   $t=\frac{-1\pm 7}{8}\ \Longrightarrow\ t_{1}=\frac{3}{4},\qquad t_{2}=-1.$

   两个值都落在 $[-1,1]$ 内，都不用舍去——这一步一定要检查，因为落在 $[-1,1]$ 之外的根是增根。

4. 4

   解 $\sin x=\tfrac34$。 这个值不对应特殊角，所以答案要用 $\arcsin$ 表示。正弦在第一象限取到 $\tfrac34$ 一次，在第二象限再取到一次：

   $x=\arcsin\frac{3}{4}+2\pi n\quad\text{或}\quad x=\pi-\arcsin\frac{3}{4}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z},$

   这两族可以用紧凑公式 $x=(-1)^{n}\arcsin\frac{3}{4}+\pi n$ 合并成一行。数值上 $\arcsin\tfrac34\approx 0.8481$ 弧度 $\approx 48.59^{\circ}$。

5. 5

   解 $\sin x=-1$。 这里正弦取到最小值，一个周期内只出现一次，所以只有一族解：

   $x=-\frac{\pi}{2}+2\pi n\quad\left(\text{等价于 }x=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\right),\qquad n\in\mathbb{Z}.$

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   把两族解都代回原方程检验。 取 $x=\arcsin\tfrac34\approx 0.8481$：$\sin x-2\cos 2x=0.75-2(-0.125)=1$。取 $x=-\tfrac{\pi}{2}$：$-1-2\cos(-\pi)=-1+2=1$。两族都满足方程，所以解集就是这两族的并集。