解方程 3sin(0.5x − 3) + 1 = 3，求所有实数 x。

Step-by-step solution

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   先把正弦因子单独分离出来。 正弦被一个系数和一个平移埋着的时候，任何三角变形都无从下手。两边减 $1$，再除以 $3$：

   $3\sin(0.5x-3)=2\qquad\Longrightarrow\qquad \sin(0.5x-3)=\frac{2}{3}$

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   确认解确实存在。 正弦的取值只能落在 $[-1,1]$ 内，而 $\tfrac{2}{3}\approx0.667$ 在这个范围里，所以有解。（如果右边超过 $1$，方程就无解 —— 这个检查值得在任何代数变形之前先做。）

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   把正弦方程的两支通解都写出来。 令 $\theta=0.5x-3$，方程 $\sin\theta=\tfrac23$ 在每个周期里有两族解，因为正弦在上升过程中取到该值一次、下降过程中又取到一次：

   $\theta=\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2\pi k\qquad\text{或}\qquad \theta=\pi-\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$

   只写第一支是这里最常见的错误。

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   把内层的变换还原回去。 加 $3$，再乘 $2$。乘 $2$ 的同时也把 $2\pi k$ 翻成了 $4\pi k$ —— $\sin(0.5x-3)$ 关于 $x$ 的周期是 $\tfrac{2\pi}{0.5}=4\pi$，不是 $2\pi$：

   $x=6+2\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\pi k\qquad\text{或}\qquad x=6+2\pi-2\arcsin\!\left(\tfrac{2}{3}\right)+4\pi k$

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   把两个主解算成数值。 $\arcsin\!\left(\tfrac23\right)\approx0.7297$，所以两个基本解是 $x\approx6+1.4595=7.4595$ 与 $x\approx6+6.2832-1.4595=10.8237$。

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   把两个都代回去验证。 对 $x\approx7.4595$：$0.5x-3\approx0.7297$，$3\sin(0.7297)+1=3.0000$ ✓。对 $x\approx10.8237$：$0.5x-3\approx2.4119$，$3\sin(2.4119)+1=3.0000$ ✓。给其中任何一个加上 $4\pi$ 的整数倍，结果都不变。