已知 cos²x = 6sin⁴x，求 sin 2x。

Step-by-step solution

1. 1

   先把一切都归到同一个量上。 两边只出现偶次幂，所以借助勾股恒等式就能只用一个未知量。令

   $u=\sin^{2}x,\qquad\text{于是}\qquad\cos^{2}x=1-u,\qquad \sin^{4}x=u^{2}.$

   选 $u=\sin^{2}x$ 而不是 $\sin x$，可以彻底避开符号的麻烦 —— 本题里没有任何条件能区分 $x$ 和 $-x$。

2. 2

   列出并解这个二次方程。 把它们代进 $\cos^{2}x=6\sin^{4}x$：

   $1-u=6u^{2}\;\Longrightarrow\;6u^{2}+u-1=0\;\Longrightarrow\;(3u-1)(2u+1)=0,$

   所以 $u=\tfrac13$ 或 $u=-\tfrac12$。

3. 3

   舍去不可能的那个根。 因为 $u=\sin^{2}x$ 是一个平方，必有 $u\ge0$，所以 $u=-\tfrac12$ 要舍去。另外还有 $u=\sin^{2}x\le1$，$\tfrac13$ 这一条也满足。于是

   $\sin^{2}x=\frac13,\qquad \cos^{2}x=1-\frac13=\frac23.$

   回到原条件核对：$6\sin^{4}x=6\cdot\tfrac19=\tfrac23=\cos^{2}x$ ✓。

4. 4

   用平方形式的二倍角公式。 由 $\sin 2x=2\sin x\cos x$ 出发，两边平方就永远不必去追究 $\sin x$、$\cos x$ 各自的正负：

   $\sin^{2}2x=4\sin^{2}x\cos^{2}x=4\cdot\frac13\cdot\frac23=\frac89.$

5. 5

   开方，两个符号都要留。 因此

   $\sin 2x=\pm\sqrt{\frac89}=\pm\frac{2\sqrt2}{3}\approx\pm0.9428.$

   两种符号都真的会出现：原条件只限定了 $\sin^{2}x$，所以 $x$ 可以落在任何象限，而 $\sin 2x$ 在第一、第三象限为正，在第二、第四象限为负。既然题目没给象限信息，答案就必须带上 $\pm$。