在全体实数上解 sin(2x) cos(2x) = −1/2，求 x。

Step-by-step solution

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   先看出这个乘积是某个正弦的一半。 $\sin\theta\cos\theta$ 这样的乘积从来不直接去解——总是用 $\sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta$ 把它合成一个正弦。这里 $\theta = 2x$，所以 $2\sin(2x)\cos(2x) = \sin(4x)$。

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   两边同乘 2，好套用公式。

   $2\sin(2x)\cos(2x) = 2\left(-\frac{1}{2}\right) \quad\Longrightarrow\quad \sin(4x) = -1$

   现在方程里只有一个三角函数、一个角，这正是所有通解公式所要求的形式。

3. 3

   解 sin(4x) = −1。 正弦只在每个周期的最低点取到最小值 $-1$，也就是角为 $\tfrac{3\pi}{2}$ 加上整数圈。由于 $-1$ 是极值，这里只有一族解，而不是通常的两族：

   $4x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

4. 4

   除以 4，把 x 单独解出来。 每一项都要除，周期也一样：

   $x = \frac{3\pi}{8} + \frac{\pi}{2}k, \qquad k \in \mathbb{Z}$

   周期从 $2\pi$ 缩成了 $\tfrac{\pi}{2}$，所以在任何长度为 $2\pi$ 的区间上有四个解，而不是一个。

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   检验基础解。 取 $x = \tfrac{3\pi}{8}$，则 $2x = \tfrac{3\pi}{4}$，此时 $\sin\tfrac{3\pi}{4} = \tfrac{\sqrt2}{2}$、$\cos\tfrac{3\pi}{4} = -\tfrac{\sqrt2}{2}$，乘积为 $-\tfrac{2}{4} = -\tfrac12$，正是右端的值。