求 x 在 0 到 2π 区间内满足 sin 2x = √3/2 的所有解。

Step-by-step solution

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   盯住区间对二倍角的影响。 若 $x$ 跑遍 $[0, 2\pi]$，那么 $2x$ 跑遍 $[0, 4\pi]$ —— 整整两圈。这就是这个方程的解个数是 $\sin x = \tfrac{\sqrt3}{2}$ 的两倍的原因，而忘掉这一点正是丢掉一半答案的常规操作。

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   先把二倍角当整体，写出通解。 $\sin\theta = \tfrac{\sqrt3}{2}$ 的参考角是 $\tfrac{\pi}{3}$，解落在第一、第二象限：

   $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \qquad \text{或} \qquad 2x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k, \quad k \in \mathbb{Z}$

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   折半得到 x 的通解。 每一项除以 $2$，周期就从 $2\pi$ 变成 $\pi$：

   $x = \frac{\pi}{6} + \pi k \qquad \text{或} \qquad x = \frac{\pi}{3} + \pi k$

   周期减半到 $\pi$，正是「两族通解在长为 $2\pi$ 的区间上给出四个解」的代数原因。

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   挑出落在 [0, 2π] 里的取值。 第一族：$k=0$ 给 $\tfrac{\pi}{6}$，$k=1$ 给 $\tfrac{7\pi}{6}$，$k=2$ 给 $\tfrac{13\pi}{6} \approx 6.807 > 2\pi \approx 6.283$，超出范围。第二族：$k=0$ 给 $\tfrac{\pi}{3}$，$k=1$ 给 $\tfrac{4\pi}{3}$，$k=2$ 给 $\tfrac{7\pi}{3}$，同样超出。$k$ 取负值只会得到负角。

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   列出四个解并验证。

   $x = \frac{\pi}{6},\quad \frac{\pi}{3},\quad \frac{7\pi}{6},\quad \frac{4\pi}{3}$

   各自翻倍得 $2x = \tfrac{\pi}{3},\ \tfrac{2\pi}{3},\ \tfrac{7\pi}{3},\ \tfrac{8\pi}{3}$，它们的 $\sin$ 值都等于 $\tfrac{\sqrt3}{2} \approx 0.8660254$，精确到小数后十五位。另外注意 $\left(\tfrac{\pi}{6}, \tfrac{\pi}{3}\right)$ 和 $\left(\tfrac{7\pi}{6}, \tfrac{4\pi}{3}\right)$ 这两对分别关于 $\tfrac{\pi}{4}$ 和 $\tfrac{5\pi}{4}$ 对称，而这两处正是 $\sin 2x$ 的峰值点。