解方程 cos t = −tan(x) 乘 tan(x)，求 x，并说明何时有解。

Step-by-step solution

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   先把重复出现的因子并起来。 右边是同一个量与自身相乘：

   $\tan(x)\tan(x)=\tan^2(x)\quad\Rightarrow\quad \cos t=-\tan^2(x)$

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   用 $\tan^2$ 的取值范围判断到底何时可能有解。 实数的平方永不为负，所以 $\tan^2(x)\ge 0$，从而 $-\tan^2(x)\le 0$。左边必须与之匹配，于是得到有解条件

   $\cos t\le 0\quad\Longleftrightarrow\quad t\in\left[\tfrac{\pi}{2}+2k\pi,\ \tfrac{3\pi}{2}+2k\pi\right]$

   若 $\cos t>0$，那就不存在任何实数 $x$ —— 先把这一步查清楚，可以省下去解一个根本无解的方程的功夫。

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   把平方项单独留下。

   $\tan^2(x)=-\cos t$

   在上述条件下右边 $\ge 0$，所以开平方是合法的。

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   把两个平方根都取上。

   $\tan(x)=\pm\sqrt{-\cos t}$

   两个符号都保留是关键：丢掉负的那一支，就丢掉了一半的解系。

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   在完整周期上反解正切。 正切的周期是 $\pi$（不是 $2\pi$），而 $\arctan$ 是奇函数，所以两支可以合成一个公式：

   $x=\pm\arctan\left(\sqrt{-\cos t}\right)+k\pi,\qquad k\in\mathbb{Z}$

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   取两个有代表性的 $t$ 检验一下。 若 $\cos t=0$（比如 $t=\tfrac{\pi}{2}$），公式给出 $x=k\pi$，而确实有 $-\tan^2(0)=0=\cos\tfrac{\pi}{2}$ ✓。若 $t=\pi$，则 $\cos t=-1$，于是 $\tan^2 x=1$，$x=\pm\tfrac{\pi}{4}+k\pi$；代入验证，$-\tan^2\!\left(\tfrac{\pi}{4}\right)=-1=\cos\pi$ ✓。