求 x：√(x² + 26.8² + 100²) = x / cos(20 度)。

Step-by-step solution

1. 1

   平方之前先看定义域。 左边是一个平方根，因此非负；右边是 $x/\cos 20^\circ$，其中 $\cos 20^\circ>0$。于是任何解都必须满足 $x\ge 0$，后面若冒出负根，就得作为增根舍去。

2. 2

   两边平方，并把常数归到一起。 这里两边都非负，所以平方是合法的：

   $x^2+26.8^2+100^2=\frac{x^2}{\cos^2 20^\circ}\;\Longrightarrow\;26.8^2+100^2=x^2\left(\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1\right)$

   常数部分是 $K=26.8^2+10000=10718.24$。

3. 3

   用勾股型恒等式化简括号。 因为 $\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$：

   $\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1=\tan^2 20^\circ$

   于是方程成为 $x^2\tan^2 20^\circ=10718.24$。认出这个恒等式，正是把一个杂乱的三角方程变成一行就能解的关键。

4. 4

   解出 $x$，只保留正根。

   $x=\frac{\sqrt{10718.24}}{\tan 20^\circ}=\frac{103.5289}{0.3639702}\approx 284.44$

   负根 $-x$ 满足平方后的方程，但不满足原方程，因为它会让右边为负而左边仍为正。

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   代回去验证。 取 $x\approx 284.44$，左边是 $\sqrt{x^2+10718.24}$，右边是 $x/\cos 20^\circ$；两者在七位有效数字内算出同一个数，既确认了这个根，也排除了增根。