解方程 √(x² + 125.4² + 100²) = x / cos 20°，求 x。

Step-by-step solution

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   平方之前先看定义域。 左边是平方根，所以非负；右边是 $x/\cos 20^\circ$，而 $\cos 20^\circ>0$。因此任何解都必须满足 $x\ge 0$，后面若冒出负根，就要作为增根舍去。

2. 2

   两边平方并把常数归到一起。 两边都非负，所以平方是合法的：

   $x^2+125.4^2+100^2=\frac{x^2}{\cos^2 20^\circ}\;\Longrightarrow\;125.4^2+100^2=x^2\left(\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1\right)$

   常数是 $K=125.4^2+10000=25725.16$。

3. 3

   用勾股恒等式化简括号。 因为 $\sec^2\theta-1=\tan^2\theta$：

   $\frac{1}{\cos^2 20^\circ}-1=\tan^2 20^\circ$

   于是方程变成 $x^2\tan^2 20^\circ=25725.16$。认出这个恒等式，才把一个杂乱的三角方程变成一行就能解完的题。

4. 4

   解出 $x$，只保留正根。

   $x=\frac{\sqrt{25725.16}}{\tan 20^\circ}=\frac{160.3907}{0.3639702}\approx 440.67$

   负根 $-x$ 满足平方后的方程，但不满足原方程——它会让右边变负，而左边始终为正。

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   代回验证。 取 $x\approx 440.67$，左边是 $\sqrt{440.67^2+25725.16}$，右边是 $440.67/\cos 20^\circ$；两者算到七位有效数字都相同，确认了这个根。

   $\sqrt{x^2+25725.16}=\frac{x}{\cos 20^\circ}\;\checkmark$