解方程 6sin⁴x + sin²x − 6 = 0。

Step-by-step solution

1. 1

   换元，把隐藏的二次方程露出来。 式中只出现 $\sin x$ 的偶次幂，所以令 $u=\sin^2x$：

   $6u^2+u-6=0$

   换元同时也记下了一个二次方程本身"不知道"的约束：$u=\sin^2x$ 迫使 $0\le u\le 1$。

2. 2

   解这个二次方程。 判别式 $\Delta=1^2-4(6)(-6)=1+144=145$（不是完全平方数），于是

   $u=\frac{-1\pm\sqrt{145}}{12}$

3. 3

   舍掉不合要求的那个根。 由于 $\sqrt{145}\approx 12.0416$，

   $u_1=\frac{-1+\sqrt{145}}{12}\approx 0.9201329,\qquad u_2=\frac{-1-\sqrt{145}}{12}\approx -1.0868$

   只有 $u_1$ 满足 $0\le u\le 1$；$u_2$ 是负数，而平方永远不可能为负，所以舍去。（要是 $u_1$ 超过了 $1$，这个方程就压根没有解。）

4. 4

   开平方得到 $\sin x$。

   $\sin x=\pm\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{12}}\approx \pm 0.9592356$

   正负号都必须保留，因为 $\sin^2 x$ 把符号信息丢掉了。

5. 5

   写出通解。 两种符号合起来正是正弦方程的标准解族：

   $x=n\pi\pm\arcsin\!\left(\sqrt{\frac{\sqrt{145}-1}{12}}\right),\qquad n\in\mathbb{Z}$

   数值上 $\arcsin(0.9592356)\approx 1.2843$ 弧度 $\approx 73.58^{\circ}$，所以解是 $x\approx n\pi\pm 1.2843$。

6. 6

   验算。 取 $u=0.9201329$：$6u^2+u-6=6(0.8466445)+0.9201329-6=5.0798671+0.9201329-6=0$ ✓。再取 $x=1.2843$，$\sin x=0.9592356$，于是 $\sin^2x=u$，正合要求。