解方程 2 sin(y) = sin(x) + sin(x + y)，其中 x、y ∈ [0, 2π)。

Step-by-step solution

1. 1

   先把右边的和化成积。 用恒等式 $\sin A+\sin B=2\sin\tfrac{A+B}{2}\cos\tfrac{A-B}{2}$，取 $A=x+y$、$B=x$，得

   $\sin x+\sin(x+y)=2\sin\!\left(x+\frac y2\right)\cos\frac y2$

2. 2

   左边用二倍角公式改写。

   $2\sin y=4\sin\frac y2\cos\frac y2$

   现在两边都带着公因式 $\cos\tfrac y2$，这正是这道题的结构关键。

3. 3

   要提公因式，不要两边相除。 把所有项移到一边：

   $2\cos\frac y2\left[2\sin\frac y2-\sin\!\left(x+\frac y2\right)\right]=0$

   若图省事直接两边除以 $\cos\tfrac y2$ 而不是提公因式，就会悄悄丢掉所有满足 $\cos\tfrac y2=0$ 的解 —— 这是这道题答得不完整的最常见原因。

4. 4

   分支 1：$\cos\tfrac y2=0$。 在 $[0,2\pi)$ 上这意味着 $\tfrac y2=\tfrac\pi2$，于是

   $y=\pi\qquad\text{对任意 }x\in[0,2\pi)$

   直接验证一下：$2\sin\pi=0$，而 $\sin x+\sin(x+\pi)=\sin x-\sin x=0\;\checkmark$。这是一整条解的直线，不是孤立的一个点。

5. 5

   分支 2：$\sin\!\left(x+\tfrac y2\right)=2\sin\tfrac y2$。 正弦值的绝对值不超过 $1$，所以这一支要求

   $\left|2\sin\frac y2\right|\le 1\iff\left|\sin\frac y2\right|\le\frac12\iff y\in\left[0,\frac\pi3\right]\cup\left[\frac{5\pi}{3},2\pi\right)$

   而对每个允许的 $y$，与它配对的 $x$ 取值是

   $x\equiv\arcsin\!\left(2\sin\frac y2\right)-\frac y2\quad\text{或}\quad x\equiv\pi-\arcsin\!\left(2\sin\frac y2\right)-\frac y2\pmod{2\pi}$

6. 6

   汇总完整解集。 解集由水平直线 $y=\pi$ 和分支 2 的两条曲线共同组成。数值抽查两族都成立：在 $y=\pi$ 上取 $x=0.3,\,1.234,\,2.7,\,5.5$，残差都小于 $4\times 10^{-16}$；分支 2 在 $y=0$ 时要求 $\sin x=0$，给出 $x=0$ 和 $x=\pi$，代回原方程严格成立。