化简 sin(9x)/cot(12x)。

Step-by-step solution

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   先把余切按定义换掉。 商数关系是

   $\cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},$

   取 $\theta=12x$，原式就成了

   $\frac{\sin(9x)}{\dfrac{\cos(12x)}{\sin(12x)}}.$

   只要有倒数型三角函数卡在别扭的位置上，先改写成正弦和余弦几乎总是正确的第一步。

2. 2

   除以一个分数，就是乘它的倒数。 繁分数 $\dfrac{A}{B/C}$ 等于 $A\cdot\dfrac{C}{B}$：

   $\frac{\sin(9x)}{\dfrac{\cos(12x)}{\sin(12x)}}=\sin(9x)\cdot\frac{\sin(12x)}{\cos(12x)}.$

   最经典的错法是写成 $\sin(9x)\cdot\frac{\cos(12x)}{\sin(12x)}$ —— 除以 $\cot$ 相当于乘 $\tan$，不是再乘一个 $\cot$。

3. 3

   认出这是正切。 由于 $\dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$，

   $\frac{\sin(9x)}{\cot(12x)}=\sin(9x)\tan(12x).$

   答案也可以停在 $\dfrac{\sin(9x)\sin(12x)}{\cos(12x)}$；两种写法都对，只是带 $\tan$ 的那个更紧凑。

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   说明定义域限制。 原式要求 $\cot(12x)$ 有定义且不为零，也就是 $\sin(12x)\ne0$ 且 $\cos(12x)\ne0$，即 $12x\ne\frac{k\pi}{2}$。化简后的 $\sin(9x)\tan(12x)$ 只需要 $\cos(12x)\ne0$，所以它的定义点比原式稍多一些 —— 在两边都有意义的地方，二者相等。

5. 5

   数值验算。 取 $x=0.1$：$\sin(0.9)=0.783327$，$\cot(1.2)=0.3887796$，于是原来的商是 $\frac{0.783327}{0.3887796}=2.014836$；而 $\sin(0.9)\tan(1.2)=0.783327\times2.572152=2.014836$ ✓。选的这个点离两个函数的极点都不近，能说明变形没出问题。