函数 y = 3 csc x 的周期是多少？

Step-by-step solution

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   先回忆周期到底在量什么。 周期是使得对定义域内每个 $x$ 都有 $f(x+p) = f(x)$ 的最小正数 $p$——也就是图像重复之前，一个完整周期在水平方向上的长度。

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   用倒数定义。 $\csc x = \dfrac{1}{\sin x}$。如果对所有 $x$ 都有 $\sin(x + p) = \sin x$，那么两边取倒数，在两者都有定义的地方就有 $\csc(x+p) = \csc x$。所以正弦什么时候重复，余割就什么时候重复，周期与正弦相同：$2\pi$。

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   确认没有更小的周期。 会不会是 $\pi$？取 $x = \tfrac{\pi}{2}$ 试试：$\csc\tfrac{\pi}{2} = 1$，而 $\csc\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\pi\bigr) = \csc\tfrac{3\pi}{2} = -1$。既然 $1 \neq -1$，$\pi$ 就不是周期。同样的检验也排除了 $\tfrac{\pi}{2}$，所以 $2\pi$ 确实是最小的。

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   看清系数 3 为什么无关。 乘以 $3$ 只是把图像纵向拉伸，所以 $3\csc(x+2\pi) = 3\csc x$ 对完全相同的平移量成立。只有加在 $x$ 上的系数——比如 $\csc(bx)$，周期为 $2\pi/|b|$——才会改变周期。这里 $b = 1$，于是

   $\text{周期} = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$

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   给出答案。 $y = 3\csc x$ 的周期是 $2\pi$。最后再做一次合理性检查：$\csc$ 在 $\sin x = 0$ 处都有垂直渐近线，即 $x = 0, \pi, 2\pi, \ldots$——间隔为 $\pi$——但向上、向下两支的排列样式要每隔 $2\pi$ 才重复一次。