判断对错：csc(7π/6) = −2。

Step-by-step solution

1. 1

   先回忆余割的定义。 余割不是反函数，而是倒数：

   $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$

   所以整道题就归结为精确求出 $\sin\left(\tfrac{7\pi}{6}\right)$。

2. 2

   定位这个角，并找出它的参考角。 把角写成从 $\pi$ 再多转一点的形式：

   $\frac{7\pi}{6} = \pi + \frac{\pi}{6}$

   刚过 $\pi$（也就是刚过 $180^{\circ}$）的角落在第三象限，它的参考角是 $\tfrac{\pi}{6} = 30^{\circ}$。

3. 3

   按象限定符号。 在第三象限，单位圆上点的 $x$ 与 $y$ 坐标都是负的，所以那里的正弦为负。由 $\sin\tfrac{\pi}{6} = \tfrac12$ 得

   $\sin\left(\frac{7\pi}{6}\right) = -\frac{1}{2}$

   对应的单位圆上的点是 $\left(-\tfrac{\sqrt3}{2},\, -\tfrac12\right)$，其中 $y$ 坐标就是正弦值。

4. 4

   取倒数。

   $\csc\left(\frac{7\pi}{6}\right) = \frac{1}{-\tfrac12} = -2$

   取倒数不改变符号，所以正弦为负，余割也为负；又因为 $\left|\sin\right| = \tfrac12 < 1$，余割的绝对值必然大于 $1$，与 $2$ 正好相符。

5. 5

   回答这道判断题。 算出来的值与题中说法完全一致，所以它是正确的。数值验算给出 $1/\sin(7\pi/6) = -2.000000000000001$，末尾那一丁点残差只是浮点误差，并不是真的有出入。