求 y = 2 cos(3x − 2π) 的周期。

Step-by-step solution

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   先认出三个参数。 与一般形式 $y = A\cos(bx - c)$ 对照：振幅是 $A = 2$，$x$ 的系数是 $b = 3$，相位项是 $c = 2\pi$。这三个当中只有一个决定周期。

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   套用周期公式。 当余弦的自变量前进 $2\pi$ 时，函数完成一个整周期。这里自变量是 $3x - 2\pi$，它在 $x$ 前进 $2\pi/3$ 时正好前进 $2\pi$：

   $3(x + p) - 2\pi = (3x - 2\pi) + 2\pi \;\Longrightarrow\; 3p = 2\pi \;\Longrightarrow\; p = \frac{2\pi}{3}$

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   看清振幅为什么无关。 因子 $2$ 只是把输出在竖直方向上放大。既然 $2\cos\theta$ 与 $\cos\theta$ 在同一处重复，横向的一个周期长度就不受影响 —— 波更高不等于波更长。

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   再看相位平移为什么也无关。 括号里减去 $2\pi$，图像向右平移 $2\pi/3$ 个单位，但平移一个周期函数的图像绝不会改变它重复的快慢。事实上 $2\pi$ 正好是余弦的一个整周期，所以这里 $\cos(3x - 2\pi) = \cos 3x$，图像连看得见的平移都没有。

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   写出答案并检验。 周期是 $\dfrac{2\pi}{3}$。直接验证：$y(0) = 2\cos(-2\pi) = 2$，而 $y\bigl(\tfrac{2\pi}{3}\bigr) = 2\cos(2\pi - 2\pi) = 2\cos 0 = 2$ ✓；中点处 $y\bigl(\tfrac{\pi}{3}\bigr) = 2\cos(\pi - 2\pi) = -2$，说明中间确实完整地摆动了一次。像 $3\pi$ 或 $6\pi$ 这样的干扰选项，都是错乘了 $b$ 而不是除以 $b$ 得来的。