求点 (3, 1, 2) 到点 (1, 4, -1) 的距离。

Step-by-step solution

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   用三维空间的距离公式。 它就是把勾股定理用了两次 —— 一次在水平面内，一次在竖直方向上 —— 这正是第三个平方项能够直接并入的原因：

   $d=\sqrt{\left(x_{2}-x_{1}\right)^{2}+\left(y_{2}-y_{1}\right)^{2}+\left(z_{2}-z_{1}\right)^{2}}$

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   算出三个坐标差。 按统一的顺序相减（第二点减第一点）：

   $\Delta x=1-3=-2,\qquad \Delta y=4-1=3,\qquad \Delta z=-1-2=-3$

   顺序本身其实无所谓，因为每个差马上就要平方 —— 但在不同坐标之间把顺序搞混就不行了。

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   把每个差平方。

   $(-2)^{2}=4,\qquad 3^{2}=9,\qquad (-3)^{2}=9$

   注意 $(-3)^{2}=+9$：正是平方运算让距离与方向无关。

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   相加后开平方。

   $d=\sqrt{4+9+9}=\sqrt{22}$

   因为 $22=2\times 11$ 没有平方因数，$\sqrt{22}$ 无法再化简。

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   给出小数值并检验合理性。 $\sqrt{22}\approx 4.6904$。检验一下：最大的单个坐标差是 $3$，距离必然大于它、又小于 $2+3+3=8$；$4.69$ 稳稳落在这个区间里 ✓。