一个半径为 5 英里的圆，其扇形面积是 3 平方英里。求这个扇形的圆心角，结果保留三位小数。

Step-by-step solution

1. 1

   把面积公式反解成角。 由 $A=\tfrac12 r^{2}\theta$，

   $\theta=\frac{2A}{r^{2}}$

   半径是以平方的形式进入公式的，所以这里若把 $r^{2}$ 误写成 $r$，本题的结果会差 5 倍。

2. 2

   代入数值。

   $\theta=\frac{2(3)}{5^{2}}=\frac{6}{25}$

3. 3

   化成小数。

   $\theta=0.24=0.240\ \text{弧度}$

   $\boxed{\theta=\dfrac{6}{25}=0.240\ \text{rad}}$

4. 4

   注意这个答案是无量纲的。 弧度制下的角是两个长度之比，所以英里被约掉了：$\text{mi}^2/\text{mi}^2$。这就是为什么 $0.240$ 后面除了「弧度」二字之外不带任何单位。

5. 5

   回代面积检验，并换算成度。 $A=\tfrac12(25)(0.24)=12.5\times 0.24=3$ 平方英里 ✓。换成度：$0.24\times\tfrac{180}{\pi}=13.75^{\circ}$——是个很窄的楔形，与这个扇形只占整圆 $\pi(25)=78.5$ 平方英里中的 $3$ 平方英里相符。