已知 cos x = √6 · sin²x，求 sin 2x。

Step-by-step solution

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   先注意条件里藏着的符号信息。 右边 $\sqrt6\sin^{2}x$ 是一个平方乘上非负数，所以立刻可得

   $\cos x\ge0.$

   这个在动笔算之前就该看出来的结论，是后面能确定 $\cos x$ 符号的依据——两边平方之后这条信息就丢失了。

2. 2

   两边平方，化成一元方程。 平方得 $\cos^{2}x=6\sin^{4}x$，令 $u=\sin^{2}x$ 并用 $\cos^{2}x=1-u$：

   $1-u=6u^{2}\;\Longrightarrow\;6u^{2}+u-1=0\;\Longrightarrow\;(3u-1)(2u+1)=0.$

   平方可能引入增根，所以第一步的符号判断到最后必须拿出来用。

3. 3

   挑出可行的根。 两个根是 $u=\tfrac13$ 与 $u=-\tfrac12$；后者不可能，因为 $u=\sin^{2}x\ge0$。于是

   $\sin^{2}x=\frac13,\qquad \sin x=\pm\frac{\sqrt3}{3}.$

4. 4

   回到原方程求 $\cos x$，不要用平方后的那个。 把 $\sin^{2}x=\tfrac13$ 代回题目给定的关系式：

   $\cos x=\sqrt6\cdot\frac13=\frac{\sqrt6}{3}\approx0.8165,$

   结果是正的，与第一步一致——说明没有混进增根。检验：$\sin^{2}x+\cos^{2}x=\tfrac13+\tfrac69=\tfrac13+\tfrac23=1$ ✓。

5. 5

   用二倍角公式。 由 $\sin x=\pm\tfrac{\sqrt3}{3}$、$\cos x=+\tfrac{\sqrt6}{3}$：

   $\sin 2x=2\sin x\cos x=2\left(\pm\frac{\sqrt3}{3}\right)\frac{\sqrt6}{3}=\pm\frac{2\sqrt{18}}{9}=\pm\frac{6\sqrt2}{9}=\pm\frac{2\sqrt2}{3}\approx\pm0.9428.$

   两个符号都要保留，因为 $\cos x>0$ 只排除掉了四个象限中的两个；$x$ 仍可能落在第一象限或第四象限，对应 $\sin 2x$ 为正或为负。