求 tan 315° 的精确值。

Step-by-step solution

1. 1

   先定位这个角，把符号定下来。 $315^\circ$ 落在 $270^\circ$ 与 $360^\circ$ 之间，属于第四象限，那里 $x>0$、$y<0$。由于 $\tan=\dfrac{\sin}{\cos}=\dfrac{y}{x}$ 是负数除以正数，$\tan315^\circ$ 必然是负的。

2. 2

   求参考角。 离它最近的横轴是 $360^\circ$：

   $360^\circ-315^\circ=45^\circ$

   所以参考角是 $45^\circ$，绝对值与 $\tan45^\circ$ 相同。

3. 3

   用第四象限的诱导公式。 对写成 $360^\circ-\theta$ 的角，

   $\tan\!\left(360^\circ-\theta\right)=-\tan\theta$

   （等价于 $\tan(-\theta)=-\tan\theta$，因为正切是奇函数，周期为 $180^\circ$）。取 $\theta=45^\circ$：

   $\tan315^\circ=-\tan45^\circ$

4. 4

   代入特殊角的值。 $45$–$45$–$90$ 直角三角形的两条直角边相等，所以 $\tan45^\circ=1$，于是

   $\tan315^\circ=-1$

5. 5

   用坐标再验证一次。 单位圆上 $315^\circ$ 对应的点是 $\left(\tfrac{\sqrt2}{2},-\tfrac{\sqrt2}{2}\right)$，所以

   $\tan315^\circ=\frac{-\sqrt2/2}{\sqrt2/2}=-1\ \checkmark$

   数值计算在 $10^{-12}$ 的误差内同样得到 $-1$ ✓。另外 $315^\circ=\tfrac{7\pi}{4}$ 弧度；由于正切的周期是 $180^\circ$，还有 $\tan315^\circ=\tan135^\circ=-1$。