求 cos 240° 的精确值。

Step-by-step solution

1. 1

   先定位角，再定符号。 $240^\circ$ 介于 $180^\circ$ 与 $270^\circ$ 之间，位于第三象限。在那里单位圆上点的 $x$、$y$ 坐标都为负，而余弦就是 $x$ 坐标，所以 $\cos240^\circ$ 必然是负的。在算任何数值大小之前先由象限定下符号，能避开最常见的错误。

2. 2

   求参考角。 从最近的横轴 $180^\circ$ 量起：

   $240^\circ-180^\circ=60^\circ$

   所以参考角是 $60^\circ$，$\cos240^\circ$ 的绝对值等于 $\cos60^\circ$ 的绝对值。

3. 3

   用第三象限的诱导公式。 对写成 $180^\circ+\theta$ 的角，

   $\cos\!\left(180^\circ+\theta\right)=-\cos\theta$

   取 $\theta=60^\circ$ 就得到

   $\cos240^\circ=-\cos60^\circ$

4. 4

   代入特殊角的精确值。 由 $30$–$60$–$90$ 三角形知 $\cos60^\circ=\tfrac12$，所以

   $\cos240^\circ=-\frac{1}{2}$

5. 5

   验证并交叉检查。 数值上 $\cos240^\circ=-0.5$，误差在 $10^{-15}$ 以内 ✓。用平方关系再核一次：$\sin240^\circ=-\tfrac{\sqrt3}{2}$，而 $\left(-\tfrac12\right)^{2}+\left(-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)^{2}=\tfrac14+\tfrac34=1$ ✓。另外 $240^\circ$ 对应 $\tfrac{4\pi}{3}$ 弧度，单位圆上的点是 $\left(-\tfrac12,-\tfrac{\sqrt3}{2}\right)$。