计算 cos(2π/9) × cos(4π/9) × cos(8π/9) 的精确值。

Step-by-step solution

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   先看出角度在逐次加倍。 每个角都是前一个的两倍：$\tfrac{2\pi}{9}\to\tfrac{4\pi}{9}\to\tfrac{8\pi}{9}$。令 $x=\tfrac{2\pi}{9}$，这个乘积恰好就是 $\cos x\cos2x\cos4x$ —— 正弦的二倍角公式能把这一串裂项相消。

2. 2

   回忆那个裂项恒等式。 两边同乘 $\sin x$，再反复使用 $\sin2\theta=2\sin\theta\cos\theta$，就得到

   $\cos x\cos2x\cos4x=\frac{\sin8x}{8\sin x}$

   每加倍一次贡献一个因子 $2$，所以三个余弦在分母上凑出了 $8$。

3. 3

   代入 $x=\tfrac{2\pi}{9}$。 于是 $8x=\tfrac{16\pi}{9}$，并且

   $\cos\frac{2\pi}{9}\cos\frac{4\pi}{9}\cos\frac{8\pi}{9}=\frac{\sin\frac{16\pi}{9}}{8\sin\frac{2\pi}{9}}$

4. 4

   化简分子上的正弦。 由于 $\tfrac{16\pi}{9}=2\pi-\tfrac{2\pi}{9}$，而 $\sin(2\pi-\theta)=-\sin\theta$：

   $\sin\frac{16\pi}{9}=-\sin\frac{2\pi}{9}$

   正是这一步让一切都约得掉 —— 分子变成了分母里那个正弦的相反数。

5. 5

   约分收尾。

   $\frac{-\sin\frac{2\pi}{9}}{8\sin\frac{2\pi}{9}}=-\frac{1}{8}$

   之所以能约，是因为 $\sin\tfrac{2\pi}{9}\neq0$。

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   数值验证，顺便核对符号。 直接计算得 $0.766044\times0.173648\times(-0.939693)=-0.125$，与 $-\tfrac18$ 相差不到 $10^{-15}$ ✓。符号也对：$\tfrac{8\pi}{9}$ 略小于 $\pi$，落在第二象限，余弦为负，而另外两个因子都是正的。