不用计算器求 arccos(√2/2)，答案写成 π 的倍数，并说明符号是 + 还是 −。

Step-by-step solution

1. 1

   把问题改写成一个方程。 求 $\cos^{-1}\!\bigl(\tfrac{\sqrt2}{2}\bigr)$ 就是求满足

   $\cos\theta = \frac{\sqrt{2}}{2}, \qquad 0 \le \theta \le \pi$

   的角 $\theta$。正是这个值域限制，才让反余弦成为一个输出唯一的真正的函数。

2. 2

   认出这个特殊值。 $\tfrac{\sqrt2}{2}$ 和 $\tfrac{1}{\sqrt2} \approx 0.7071$ 是同一个数，它是 $45^{\circ}$ 的余弦——来自两直角边为 $1$、$1$，斜边为 $\sqrt2$ 的等腰直角三角形，邻边比斜边正是 $1/\sqrt2$。根本不需要计算器。

3. 3

   把 $45^{\circ}$ 化成弧度。 乘以 $\pi/180$：

   $45^{\circ} \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{4}$

4. 4

   定下符号。 输出必须落在 $[0,\pi]$ 内，而输入 $\tfrac{\sqrt2}{2}$ 是正的，所以角在第一象限。因此答案是 $+\tfrac{\pi}{4}$。注意 $-\tfrac{\pi}{4}$ 同样满足 $\cos\theta = \tfrac{\sqrt2}{2}$，但它落在主值范围之外，反余弦永远不会返回它。

5. 5

   验证。 $\cos\tfrac{\pi}{4} = \tfrac{\sqrt2}{2}$ ✓，且 $\tfrac{\pi}{4} \approx 0.7854$ 落在 $[0,\pi]$ 内 ✓。如果输入换成 $-\tfrac{\sqrt2}{2}$，答案会变成 $\tfrac{3\pi}{4}$，仍然是正的——反余弦的值永远不为负。