一个扇形的圆心角为 π/6 弧度，半径为 4 m。求它的弧长 s 和面积 A，结果保留三位小数。

Step-by-step solution

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   先写出两个扇形公式。 当圆心角 $\theta$ 以弧度为单位时，

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   它们其实就是把整个圆周长 $2\pi r$ 和整个圆面积 $\pi r^2$ 各取 $\theta/(2\pi)$ 这一份。

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   算弧长。

   $s=r\theta=4\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{2\pi}{3}\approx 2.094\ \text{m}$

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   算扇形面积。 先把半径平方，再取一半：

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(4)^2\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac12(16)\left(\frac{\pi}{6}\right)=\frac{4\pi}{3}\approx 4.189\ \text{m}^2$

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   写出两个四舍五入后的答案。

   $\boxed{s\approx 2.094\ \text{m},\qquad A\approx 4.189\ \text{m}^2}$

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   用关系式 A = ½rs 检验。 消去 $\theta$ 得到 $A=\tfrac12 rs$，而 $\tfrac12(4)\left(\tfrac{2\pi}{3}\right)=\tfrac{4\pi}{3}$，正是上面求出的面积。

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   和 θ = π/3、r = 2 ft 的情形比一比。 那里的弧长同样是 $\tfrac{2\pi}{3}$，因为 $\theta$ 减半、$r$ 加倍，乘积 $r\theta$ 不变。但面积取决于 $r^2\theta$，所以 $r$ 加倍而 $\theta$ 减半会让它翻倍——从 $\tfrac{2\pi}{3}$ 变成 $\tfrac{4\pi}{3}$。弧长相等并不意味着扇形面积相等。