一个扇形的圆心角为 50 度，半径为 9 cm。求它的弧长 s 和面积 A，结果保留三位小数。

Step-by-step solution

1. 1

   先把角化成弧度。 公式 $s=r\theta$ 和 $A=\tfrac12 r^2\theta$ 只有在 $\theta$ 用弧度表示时才成立，因为它们来自按 $\theta/(2\pi)$ 的比例去取整个圆的一部分。乘以 $\pi/180$：

   $\theta=50^\circ\times\frac{\pi}{180}=\frac{5\pi}{18}\ \text{rad}$

   如果直接把角度数代进去，两个答案都会被放大约 $57$ 倍。

2. 2

   写出扇形的两个公式。 对以弧度计的圆心角 $\theta$，

   $s=r\theta,\qquad A=\frac12 r^2\theta$

   它们不过是整个周长 $2\pi r$ 与整个面积 $\pi r^2$ 中占 $\theta/(2\pi)$ 的那一份。

3. 3

   算弧长。

   $s=r\theta=9\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{5\pi}{2}\approx 7.854\ \text{cm}$

4. 4

   算扇形面积。 先把半径平方，再取一半：

   $A=\frac12 r^2\theta=\frac12(9)^2\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{81}{2}\left(\frac{5\pi}{18}\right)=\frac{45\pi}{4}\approx 35.343\ \text{cm}^2$

5. 5

   写出两个四舍五入后的答案。

   $\boxed{s\approx 7.854\ \text{cm},\qquad A\approx 35.343\ \text{cm}^2}$

6. 6

   用关系式 A = ½rs 检验。 消去 $\theta$ 得到 $A=\tfrac12 rs$，而 $\tfrac12(9)\left(\tfrac{5\pi}{2}\right)=\tfrac{45\pi}{4}$，正好是上面求出的面积。