Z 分数计算器

Z 分数（也称标准分数）衡量一个值距均值有多少个标准差：

$z = \frac{x - \mu}{\sigma}$

其中 $x$ 是原始值，$\mu$ 是总体均值，$\sigma$ 是总体标准差。

解读：

• $z = 0$：该值等于均值。
• $z = 1$：在均值之上一个标准差。
• $z = -2$：在均值之下两个标准差。
• 按约定 $|z| > 2$ 为「不寻常」；$|z| > 3$ 为「极端」。

为什么标准化？

• 可比性：z 分数让你能比较来自不同分布的值（例如 SAT 数学测试的 $z = 1.5$ 与语文测试的 $z = 1.5$ 表示相同的相对表现）。
• 概率查找：若底层分布近似正态，$z$ 通过标准正态 CDF $\Phi(z)$ 直接映射到一个概率。
• 离群点检测：较大的 $|z|$ 标记潜在离群点。

样本版本：处理样本数据时，把 $\mu$ 换成 $\bar{x}$，$\sigma$ 换成 $s$：

$z = \frac{x - \bar{x}}{s}$

分步

1. 辨明值 $x$、均值 $\mu$（或 $\bar{x}$）和标准差 $\sigma$（或 $s$）。
2. 减去均值：$x - \mu$。
3. 除以标准差：$z = (x - \mu)/\sigma$。

逆向：由 $z$ 求 $x$

$x = \mu + z\sigma$

给定百分位并要求对应原始值时很有用。

通过标准正态求概率

对于正态分布变量 $X \sim N(\mu, \sigma^2)$，标准化变量 $Z = (X - \mu)/\sigma$ 服从标准正态 $N(0, 1)$。

常见概率：

对称性：$P(Z < -z) = 1 - P(Z < z)$。

经验法则（68-95-99.7）

对于正态分布：

• 约 68% 的值落在均值 $\pm 1\sigma$ 之内。
• 约 95% 落在 $\pm 2\sigma$ 之内。
• 约 99.7% 落在 $\pm 3\sigma$ 之内。

这是置信区间和许多快速估算的基础。

置信区间的临界 Z 值

这些是使得 $P(-z^* < Z < z^*) =$ 置信水平的值 $z^*$。

• 顺序错误：$z = (x - \mu)/\sigma$，而非 $(\mu - x)/\sigma$。把均值放在后面会使符号翻转。
• 用方差而非标准差：除以 $\sigma$，而非 $\sigma^2$。「距一个方差远」毫无意义——你要的是一个标准差。
• 样本与总体：样本数据用 $\bar{x}$ 和 $s$。已知参数用 $\mu$ 和 $\sigma$。混淆它们会使 z 分数偏大或偏小。
• 不检查就假定正态：z 分数可对任意分布计算，但概率查找 $\Phi(z)$ 只在底层分布为正态（或由中心极限定理近似正态）时适用。
• 忘记符号：$z = -2$ 表示「在均值之下」。报告 $z = 2$ 会误表方向。
• 混淆单尾与双尾概率：$P(|Z| > 2)$ 是两个尾部合计（$\approx 0.0456$）。$P(Z > 2)$ 是一个尾部（$\approx 0.0228$）。仔细读题。