两块碳纤维层合板用同一种纤维，E11 = 132.4 GPa。层合板 1 有 8 层，铺层顺序 0/-45/+45/0/0/+45/-45/0；层合板 2 有 10 层，铺层顺序 +45/-45/+45/-45/0/0/-45/+45/-45/+45。用 Hart-Smith 10% 法则，求层合板 1 的刚度比层合板 2 高多少。

Step-by-step solution

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   先说清法则，并把非轴向铺层的贡献算一次。 按 Hart-Smith $10\%$ 法则，$0^\circ$ 铺层贡献完整的 $E_{11}$，而每一层非轴向铺层只贡献它的 $10\%$。两块板用的是同一种纤维，所以

   $0.10E_{11}=0.10\times 132.4=13.24\ \text{GPa}$

   这是两块板里每一层非轴向铺层的贡献。

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   数一数层合板 1 的铺层。 顺序 $0/-45/+45/0/0/+45/-45/0$ 共 $8$ 层，其中 $0^\circ$ 的是第 $1,4,5,8$ 层——也就是 $4$ 层轴向、$4$ 层非轴向。

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   对层合板 1 的 8 层取平均。

   $E_{1}=\frac{4(132.4)+4(13.24)}{8}=\frac{529.6+52.96}{8}=\frac{582.56}{8}=72.82\ \text{GPa}.$

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   层合板 2 同样数层再平均。 顺序 $+45/-45/+45/-45/0/0/-45/+45/-45/+45$ 共 $10$ 层，其中只有第 $5$ 层和第 $6$ 层是 $0^\circ$——即 $2$ 层轴向、$8$ 层非轴向：

   $E_{2}=\frac{2(132.4)+8(13.24)}{10}=\frac{264.8+105.92}{10}=\frac{370.72}{10}=37.072\ \text{GPa}.$

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   相减。

   $E_{1}-E_{2}=72.82-37.072=35.748\approx 35.75\ \text{GPa}.$

   这里保留未取整的 $37.072$ 是有讲究的：先把两块板分别取整成 $72.82$ 和 $37.07$ 再减，这道题恰好也得 $35.75$，但换一组数字，这种偷懒就可能把第二位小数带偏。

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   读懂这里的设计含义。 层合板 2 层数更多，刚度却只有对方的一半出头，因为这条法则盯的是与载荷方向对齐的铺层占比——$50\%$ 对 $20\%$。多加非轴向铺层只会增加厚度和重量，在载荷方向上却只贡献十分之一的刚度。