一块单向碳纤维/环氧层压板的纤维体积分数为 0.66、基体体积分数为 0.34，纤维模量 340 GPa，基体模量 3.05 GPa，纤维强度 3648 MPa，基体强度 60 MPa。用混合律求载荷沿纤维方向时的纵向刚度和抗拉强度。

Step-by-step solution

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   先弄清这里为什么可以用简单的加权平均。 沿平行于纤维的方向加载，会让纤维和基体处于相同的应变下（等应变假设，也叫 Voigt 假设）。于是每一相贡献的力，与它自身的刚度、以及它在横截面中所占的比例成正比——这恰恰就是混合律所表达的：

   $E_{11}=V_fE_f+V_mE_m$

   要是改成横向加载，这个公式就失效了——那时得用倒数形式的混合律。

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   检查体积分数之和是否为 1。 $V_f+V_m=0.66+0.34=1.00$。如果不等于 1，就得先从质量分数和密度把其中一个重新算出来，然后才能往下做。

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   算纵向刚度。

   $E_{11}=(0.66)(340)+(0.34)(3.05)=224.4+1.037=225.437\ \text{GPa}$

   保留一位小数，$E_{11}=225.4\ \text{GPa}$。注意树脂在 $225$ 里只贡献了约 $1$ GPa——不到 $0.5\%$。在纤维主导的方向上，基体基本上就只是胶水。

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   用同样的办法算纵向强度。 同样的等应变推理给出

   $\sigma_{11}=V_f\sigma_f+V_m\sigma_m=(0.66)(3648)+(0.34)(60)=2407.68+20.4=2428.08\ \text{MPa}$

   所以 $\sigma_{11}=2428.1\ \text{MPa}$。

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   核对数量级和单位。 两个答案都必须落在基体值和纤维值之间，而它们都满足（$3.05<225.4<340$ GPa；$60<2428.1<3648$ MPa），并且都贴近纤维那一端，因为 $V_f$ 很高。GPa 只和 GPa 放一起、MPa 只和 MPa 放一起——把两者混用、差出 $1000$ 倍，是这类计算里最经典的错误。