汽车沿直路行驶，前一半路程速度恒为 50 km/h，后一半路程速度恒为 60 km/h。求全程的平均速度。

Step-by-step solution

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   从定义出发，别凭直觉。 平均速度永远是

   $v_{\text{平均}}=\frac{\text{总路程}}{\text{总时间}}$

   它不是两个速度的算术平均。把 $50$ 和 $60$ 平均成 $55$，等于悄悄假定汽车在两个速度上花的时间一样长；但这里一样的是路程 —— 车在慢的那一半上耗时更久，会把平均值往下拉。

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   给半程路程起个名字，好让它约掉。 设每一半路程为 $d$，全程就是 $2d$。每一半用的时间等于路程除以速度：

   $t_1=\frac{d}{50},\qquad t_2=\frac{d}{60}$

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   通分，把两段时间加起来。

   $t_1+t_2=\frac{d}{50}+\frac{d}{60}=d\left(\frac{6}{300}+\frac{5}{300}\right)=\frac{11d}{300}$

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   用总路程除以总时间。

   $v_{\text{平均}}=\frac{2d}{\dfrac{11d}{300}}=2d\cdot\frac{300}{11d}=\frac{600}{11}\approx54.5\ \text{km/h}$

   未知的 $d$ 自己约掉了，这正是答案与路有多长无关的原因。

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   认出一般公式。 把同样的推导换成符号再做一遍，得到的就是两个速度的调和平均：

   $v_{\text{平均}}=\frac{2v_1v_2}{v_1+v_2}=\frac{2(50)(60)}{50+60}=\frac{6000}{110}=54.\overline{54}\ \text{km/h}$

   除非两个速度相等，否则调和平均总小于算术平均，所以结果略小于 $55$ 本身就是一道现成的自检。

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   用具体数字验算一遍。 取每一半路程为 $300\ \text{km}$：前一半用 $6$ 小时，后一半用 $5$ 小时，于是 $600\ \text{km}$ 共用 $11$ 小时，得 $600/11\approx54.5\ \text{km/h}$ —— 和公式给的结果一模一样。