计算 t = (1/3.6) 乘以 v 从 0 到 7.07 的积分，被积函数为 (1.1 × 9.13) / (10.752 − 9.13 × 9.8 × 0.01 − (0.04985 × 0.2032 × v²)/21.15)。

Step-by-step solution

1. 1

   动微积分之前，先把每一个常数都乘开。 被积函数看着吓人，只是因为常数还没有算出来。分子：

   $1.1\times 9.13=10.043$

   分母中的常数部分：

   $10.752-9.13\times 9.8\times 0.01=10.752-0.89474=9.85726$

   $v^{2}$ 的系数：

   $\frac{0.04985\times 0.2032}{21.15}=\frac{0.01012952}{21.15}=4.78937\times 10^{-4}$

2. 2

   改写成一眼认得出的标准形式。

   $t=\frac{10.043}{3.6}\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{9.85726-4.78937\times 10^{-4}v^{2}}$

   把 $v^{2}$ 的系数从分母里提出来，平方差的形状就露出来了：

   $=\frac{10.043}{3.6\left(4.78937\times 10^{-4}\right)}\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{a^{2}-v^{2}},\qquad a=\sqrt{\frac{9.85726}{4.78937\times 10^{-4}}}=143.463$

3. 3

   用对数形式的原函数。 拆成部分分式可得

   $\int\frac{dv}{a^{2}-v^{2}}=\frac{1}{2a}\ln\left|\frac{a+v}{a-v}\right|+C$

   （等价地写成 $\tfrac1a\operatorname{artanh}\tfrac va$）。上限 $7.07$ 远小于 $a=143.463$，所以全程 $a^{2}-v^{2}>0$，被积函数不会发散。

4. 4

   算出定积分的值。

   $\int_{0}^{7.07}\frac{dv}{a^{2}-v^{2}}=\frac{1}{2(143.463)}\ln\frac{143.463+7.07}{143.463-7.07}=\frac{\ln(1.10367)}{286.926}=3.4379\times 10^{-4}$

5. 5

   乘上前面的常数。

   $\frac{10.043}{4.78937\times 10^{-4}}\times 3.4379\times 10^{-4}=20969\times 3.4379\times 10^{-4}=7.2091$

   所以积分本身等于 $7.2091$，而

   $t=\frac{7.2091}{3.6}=2.0025$

   $\boxed{t\approx 2.00\ \text{s}}$

6. 6

   用「被积函数近似为常数」的估计来检验。 因为 $v$ 最大也只到 $7.07$，而 $a=143.5$，所以 $v^{2}$ 那一项对分母的影响至多是 $4.79\times 10^{-4}(7.07)^{2}=0.0239$，相对于 $9.857$ 只有约 $0.24\%$。把被积函数当成常数 $\tfrac{10.043}{9.85726}=1.01885$ 来算，得 $t\approx\tfrac{1.01885\times 7.07}{3.6}=2.0009$ s，与精确值 $2.0025$ s 相差不到 $0.1\%$ ✓。