某平纹 (0/90) 硼纤维织物沿经纱方向加载时的 Krenchel 效率因子为 0.5。求加载方向与经纱成 31° 时的效率因子，保留三位小数。

Step-by-step solution

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   先把给定的 0° 值当成纤维配比的一个检验。 一组纤维方向对应的 Krenchel 因子是

   $\eta_\theta=\sum_n a_n\cos^{4}\theta_n$

   其中 $a_n$ 是方向 $n$ 上纤维所占的比例。在 $0^\circ$ 时它给出 $a_0\cos^4 0^\circ+a_{90}\cos^4 90^\circ=a_0$。题目说这个值是 $0.5$，可见织物是平衡织物：$a_0=a_{90}=0.5$。

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   求出载荷方向与每一组纤维的夹角。 加载方向与经纱成 $31^\circ$，意味着经纱纤维处在 $\theta_0=31^\circ$；而纬纱与经纱垂直，因此处在

   $\theta_{90}=90^\circ-31^\circ=59^\circ$

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   写出求和式。

   $\eta_\theta=0.5\cos^{4}(31^\circ)+0.5\cos^{4}(59^\circ)$

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   逐项算出数值。

   $\cos 31^\circ=0.857167\Rightarrow\cos^{4}31^\circ=0.539837$

   $\cos 59^\circ=0.515038\Rightarrow\cos^{4}59^\circ=0.070365$

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   合并并取舍。

   $\eta_\theta=0.5(0.539837+0.070365)=0.5(0.610202)=0.305101$

   $\boxed{\eta_\theta=0.305}$

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   拿两个参考角做合理性检验。 在 $0^\circ$（或 $90^\circ$）时因子是 $0.5$；在 $45^\circ$ 时是 $0.5\cos^4 45^\circ\times 2=0.5\times 0.25\times 2=0.25$，这是最小值。答案 $0.305$ 落在这两个极限之间，而且从效果上看它离 $45^\circ$ 比离 $0^\circ$ 近得多，所以理应更靠近下限。