从圆外一点 P 引一条切线和一条割线，∠P = 38°，所夹的近弧为 64°。求所夹的远弧。

Step-by-step solution

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   回忆圆外角定理。 两条直线相交于圆外时——不论是两条割线、一条切线加一条割线，还是两条切线——所成的角等于它们所夹两段弧之差的一半：

   $\angle P=\frac{1}{2}\left(\text{远弧}-\text{近弧}\right)$

   值得对照记住的是：顶点在圆上的角等于所对单独一段弧的一半，顶点在圆内的角等于两段弧之和的一半。用哪条规则，由顶点的位置决定。

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   分清哪段是近弧、哪段是远弧。 近弧是两个交点之间靠近 $P$ 的那一段（这里是 $64^{\circ}$）；远弧是圆另一侧的那一段。远弧总是两者中较大的一段，所以答案必然大于 $64^{\circ}$——这是开算之前就能用上的一个检查。

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   代入已知数据。

   $38=\frac{1}{2}\left(\text{远弧}-64\right)$

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   解出待求的弧。 两边乘以 2，再加上 64：

   $76=\text{远弧}-64\ \Longrightarrow\ \text{远弧}=140^{\circ}$

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   检查整个图形是否自洽。 远弧 $140^{\circ}$ 确实比近弧 $64^{\circ}$ 大 ✓，两者合起来占去圆周的 $204^{\circ}$，还剩 $156^{\circ}$ 留给由切点分出的其余部分——是个正数，所以这个图在几何上是能画出来的。代回去检验：$\tfrac12(140-64)=\tfrac12(76)=38^{\circ}$ ✓。