一块四边形地块的四条边分别是 15 m、10.2 m、4.5 m 和 15.3 m。仅凭这些边长能求出它的面积吗？

Step-by-step solution

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   四条边根本不够用。 与三角形不同，四边形不是刚性的：把顶点当作铰链一掰，形状就变了。同样这四条边长可以围出无穷多个形状不同、面积也不同的四边形，所以没有任何公式能只凭边长给出唯一答案。

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   看清再补一个什么量就够了。 下面任何一个都能把形状定死：一条对角线、一个内角、高，或者已知它属于某种特定图形（梯形、平行四边形、圆内接四边形）。

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   只要给出一条对角线，就能拆成两个三角形。 在 $15$ 与 $4.5$ 这两条边所在的那两个顶点之间连出对角线 $d$。这样一个三角形的三边是 $15$、$10.2$、$d$，另一个是 $4.5$、$15.3$、$d$。

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   对每个三角形分别用海伦公式。 对三边为 $a, b, c$、半周长 $s = \tfrac{a+b+c}{2}$ 的三角形，

   $A = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

   于是四边形的面积就是 $A = A_1 + A_2$。

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   一个值得记住的特殊情形。 如果这个四边形是圆内接的（四个顶点在同一个圆上），那么四条边确实能定出面积，用的是婆罗摩笈多公式：

   $A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}$

   这个值同时也是用这四条边所能围出的最大面积。