正方形的两个相邻顶点是 A(2, −1) 和 B(−1, 3)。求另外两个顶点的坐标。

Step-by-step solution

1. 1

   先把已知的这条边化成向量。 由于 $A$ 与 $B$ 是相邻顶点，线段 $AB$ 是正方形完整的一条边，而不是对角线。它的向量是

   $\overrightarrow{AB}=B-A=(-1-2,\;3-(-1))=(-3,\,4),$

   长度为 $|\overrightarrow{AB}|=\sqrt{(-3)^2+4^2}=5$。所以正方形的边长是 $5$。

2. 2

   把这个向量旋转 90° 得到相邻的那条边。 正方形里相邻两边互相垂直且长度相等——这正是 $90^\circ$ 旋转的效果。把 $(x,y)$ 逆时针旋转得到 $(-y,x)$，顺时针旋转得到 $(y,-x)$，所以从 $(-3,4)$ 出发有两个候选

   $(-4,-3)\qquad\text{和}\qquad(4,3),$

   两者长度都是 $5$。两种旋转就意味着有两个都成立的正方形，各在 $AB$ 的一侧——照题目所述本题有两组答案，只给一组是不完整的。

3. 3

   情形 1：按 $(4,3)$ 平移。 把这个向量加到两个已知顶点上，就把边 $AB$ 平推到正方形的对边：

   $D=A+(4,3)=(6,2),\qquad C=B+(4,3)=(3,6).$

   这个正方形是 $A(2,-1)$、$B(-1,3)$、$C(3,6)$、$D(6,2)$。

4. 4

   情形 2：按 $(-4,-3)$ 平移。 换成相反方向的旋转，得到镜像的那个正方形：

   $D=A+(-4,-3)=(-2,-4),\qquad C=B+(-4,-3)=(-5,0).$

   这个正方形是 $A(2,-1)$、$B(-1,3)$、$C(-5,0)$、$D(-2,-4)$。

5. 5

   把两个正方形都验证一遍。 两种情形下四条边都是 $5$，两条对角线都是 $5\sqrt{2}\approx 7.071$——对角线相等且等于边长$\times\sqrt2$，正是正方形区别于菱形的地方。两种情形里点积 $\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{BC}=0$ 都成立，确认了直角。