在三角形 ABC 中，AB = AC。作高 BH 垂直于 AC 于点 H，作高 CK 垂直于 AB 于点 K。求证：BK = CH，且 KH 平行于 BC。

Step-by-step solution

1. 1

   先把已知条件摆开。 由 $AB=AC$ 知三角形 $ABC$ 是以 $A$ 为顶角的等腰三角形，所以两底角相等：$\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$。两条高造出了直角 $\widehat{BHA}=\widehat{BHC}=90^\circ$ 和 $\widehat{CKA}=\widehat{CKB}=90^\circ$。整个证明靠的都是图形关于过 $A$ 的那条轴的对称性。

2. 2

   先证两个直角三角形 BKC 与 CHB 全等。 比较 $\triangle BKC$ 和 $\triangle CHB$：

   • $\widehat{BKC}=\widehat{CHB}=90^\circ$（因为是高）；
   • $BC$ 是它们公共的斜边；
   • $\widehat{KBC}=\widehat{HCB}$（等腰三角形的两底角相等）。

   由“斜边和一个锐角对应相等”，得 $\triangle BKC\cong\triangle CHB$。

3. 3

   直接读出第 (a) 问。 全等三角形的对应直角边相等，而前一个三角形中的 $BK$ 对应后一个三角形中的 $CH$：

   $BK=CH$

   这就是 (a)。顺带还得到 $CK=BH$——两腰上的高长度也相等。

4. 4

   把这个相等关系转化成两边上的比例。 由 $AB=AC$ 和 $BK=CH$，相减得 $AK=AB-BK=AC-CH=AH$。于是

   $\frac{AK}{AB}=\frac{AH}{AC}$

   两边是同一个数。这正是平行线分线段成比例定理的逆定理所需要的比例条件。

5. 5

   用逆定理得到第 (b) 问。 点 $K$、$H$ 分别在三角形 $ABC$ 的边 $AB$、$AC$ 上，并且把这两边按相同的比分割，所以直线 $KH$ 与第三边平行：

   $KH\parallel BC$

   等价地说，由“两边成比例且夹角相等”可得 $\triangle AKH\sim\triangle ABC$（公共角在 $A$，夹这个角的两边成比例），于是对应角 $\widehat{AKH}=\widehat{ABC}$，由此推出平行。

6. 6

   用坐标验证。 取 $B=(-b,0)$、$C=(b,0)$、$A=(0,h)$，这样 $AB=AC$ 自动成立。随机取六组 $(b,h)$，按垂足公式算出 $H$ 和 $K$，每次都有 $BK=CH$（误差在 $10^{-9}$ 以内），$AK=AH$ 同样成立，而且 $K$ 与 $H$ 的纵坐标始终相同——也就是 $KH$ 是水平的，和 $BC$ 一样 ✓。