在三角形 ABC 中作角平分线 AL，点 L 在边 BC 上。已知 ∠ALC = 98°，∠ABC = 60°，求 ∠ACB 的度数。

Step-by-step solution

1. 1

   直接把要求的那个角设成未知数。 令 $\angle ACB = x$。把题目问的角选作变量，后面每个方程里就只剩 $x$ 一个未知量，不必带着三个未知角到处走。

2. 2

   用三角形 $ABC$ 的内角和表示 $\angle A$。 三个内角之和为 $180^\circ$，所以

   $\angle A = 180^\circ - 60^\circ - x = 120^\circ - x$

3. 3

   用角平分线把这个角折半。 $AL$ 平分 $\angle A$，所以落在三角形 $ALC$ 内部的那一半是

   $\angle CAL = \frac{120^\circ - x}{2}$

   全题只有这一处用到了角平分线这个条件，它正是把大三角形和小三角形连起来的桥梁。

4. 4

   给三角形 $ALC$ 列内角和方程。 因为 $L$ 在线段 $BC$ 上，三角形 $ALC$ 在 $C$ 处的角就是同一个 $\angle ACB = x$。于是

   $\frac{120^\circ - x}{2} + 98^\circ + x = 180^\circ$

5. 5

   解这个一次方程。

   $\frac{120 - x}{2} + x = 82 \;\Longrightarrow\; 60 - \frac{x}{2} + x = 82 \;\Longrightarrow\; \frac{x}{2} = 22$

   $x = 44^\circ$

6. 6

   检验四个角是否都自洽。 由 $x = 44^\circ$ 得 $\angle A = 76^\circ$，因此每一半是 $38^\circ$。在三角形 $ALC$ 中：$38^\circ + 98^\circ + 44^\circ = 180^\circ$；在三角形 $ABC$ 中：$76^\circ + 60^\circ + 44^\circ = 180^\circ$。两处都对得上。