在三角形 ABC 中，AB = 30 厘米，AC = 45 厘米，BC = 50 厘米。∠A 的平分线交 BC 于 D。(a) 求 BD 和 CD。(b) 过 D 作 DE 平行于 AB 交 AC 于 E，作 DF 平行于 AC 交 AB 于 F。求 DE 和 DF。

Step-by-step solution

1. 1

   用角平分线定理。 从 $A$ 引出的内角平分线，把对边分成的两段之比等于夹这个角的两边之比：

   $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{30}{45}=\frac{2}{3}$

   注意这不是另外两条边的比，也不是中点——平分线落点更靠近较短的那条边。

2. 2

   把比值换算成长度。 设 $BD=2x$，$CD=3x$。由于 $D$ 在线段 $BC$ 上，两段之和等于全长：

   $2x+3x=50\quad\Longrightarrow\quad 5x=50\quad\Longrightarrow\quad x=10$

   于是

   $BD=20\ \text{cm},\qquad CD=30\ \text{cm}$

   检验：$20+30=50$ ✓，$20:30=2:3$ ✓。

3. 3

   用相似三角形求 DE。 因为 $DE\parallel AB$，$\triangle CDE$ 中 $D$、$E$ 处的角与 $\triangle CBA$ 中 $B$、$A$ 处的角相等（同位角），所以 $\triangle CDE\sim\triangle CBA$。让 $DE$ 对应 $AB$、$CD$ 对应 $CB$：

   $\frac{DE}{AB}=\frac{CD}{CB}\quad\Longrightarrow\quad \frac{DE}{30}=\frac{30}{50}\quad\Longrightarrow\quad DE=18\ \text{cm}$

   关键在于把 $DE$ 与 $AB$ 配成对应边（它们都对着与 $C$ 处顶点相对应的那个角），而不是与 $AC$ 配对。

4. 4

   从另一个顶点出发同样求 DF。 因为 $DF\parallel AC$，得 $\triangle BDF\sim\triangle BCA$，所以

   $\frac{DF}{AC}=\frac{BD}{BC}\quad\Longrightarrow\quad \frac{DF}{45}=\frac{20}{50}\quad\Longrightarrow\quad DF=18\ \text{cm}$

5. 5

   说明 DE 与 DF 为什么恰好相等。 两者都是 $18$ 厘米，这并非巧合。由 $DE\parallel AB$ 和 $DF\parallel AC$ 可知四边形 $AFDE$ 是平行四边形，所以 $AF=DE$，$AE=DF$。而 $AD$ 平分角 $A$，同时又是这个平行四边形的对角线，这就迫使相邻两边相等——该平行四边形是菱形，因此 $DE=DF$。从代数上看，$AB\cdot\frac{CD}{BC}=AC\cdot\frac{BD}{BC}$ 成立，正是因为 $\frac{BD}{CD}=\frac{AB}{AC}$。

6. 6

   用坐标验证。 取 $A=(0,0)$、$B=(30,0)$，$C$ 取在使 $AC=45$、$BC=50$ 的位置，再把 $D$ 定在从 $B$ 到 $C$ 的 $\tfrac{20}{50}$ 处：算得 $BD=20.000$、$CD=30.000$，直线 $AD$ 与 $AB$、$AC$ 所成的角相等，两条平行线给出 $DE=18.000$、$DF=18.000$ ✓。